Feladat: F.2481 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Bóna M. ,  Bujdosó 419 L. ,  Csermely Ágnes ,  Csizmadia Gy. ,  Edvi T. ,  Fülöp T. ,  Gáspár Zsuszanna ,  Hajdú S. Z. ,  Hetyei Judit ,  Hraskó A. ,  Íjjas Cs. ,  Katona Gy. ,  Limbek Cs. ,  Megyesi G. ,  Mócsy Miklós ,  Németh-Buhin Á. ,  Paál Beatrix ,  Pfeil T. ,  Pintér A. ,  Pintér Gabriella ,  Ribényi Á. ,  Simon Gy. ,  Szabó Sz. ,  Szalay Gy. ,  Uhlmann E. 
Füzet: 1984/november, 381. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: F.2481

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bizonyítás alapjául a következő észrevétel szolgál. A tetraéder egy tetszés szerinti lapjának kerületén végigvezetett, a lapra merőleges egyenes egy végtelen hasáb palástját súrolja. A tetraéder negyedik csúcsa és vele együtt az egész tetraéder ‐ a szóban forgó kerület pontjaitól eltekintve ‐ e végtelen hasáb belsejében van, ami annak következménye, hogy a tetraéder lapszögei hegyesszögek. A mondottakból az következik, hogy a tetraéder tetszőleges pontjának merőleges vetülete a tetraéder bármelyik lapjának síkjára a lap belső pontja, hacsak nem a lap kerületén levő pontot vetítettünk.

 
 

Jelölje A, B, C, D a tetraéder csúcsait. Legyen D1 a D csúcsnak az ABC lap síkjára eső, D2 pedig D1-nek az ABD lap síkjára eső merőleges vetülete: D, D1 és D2 különböző pontok. Mivel DD1 és D1D2 egyaránt merőleges AB-re, ezért DD2 is merőleges rá. D2 az ABD lap belső pontja, a DD2 egyenes az ABD háromszög magasságvonala, és szétválasztja a kerület AB szakaszának A, B végpontjait. Tehát az ABD háromszög AB oldalon fekvő szögei hegyesszögek.
A betűzés megváltoztatásával meggondolásunk bármely két él szögéről azt adja, hogy hegyesszög. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.