|
Feladat: |
F.2481 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bán Rita , Bóna M. , Bujdosó 419 L. , Csermely Ágnes , Csizmadia Gy. , Edvi T. , Fülöp T. , Gáspár Zsuszanna , Hajdú S. Z. , Hetyei Judit , Hraskó A. , Íjjas Cs. , Katona Gy. , Limbek Cs. , Megyesi G. , Mócsy Miklós , Németh-Buhin Á. , Paál Beatrix , Pfeil T. , Pintér A. , Pintér Gabriella , Ribényi Á. , Simon Gy. , Szabó Sz. , Szalay Gy. , Uhlmann E. |
Füzet: |
1984/november,
381. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/május: F.2481 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A bizonyítás alapjául a következő észrevétel szolgál. A tetraéder egy tetszés szerinti lapjának kerületén végigvezetett, a lapra merőleges egyenes egy végtelen hasáb palástját súrolja. A tetraéder negyedik csúcsa és vele együtt az egész tetraéder ‐ a szóban forgó kerület pontjaitól eltekintve ‐ e végtelen hasáb belsejében van, ami annak következménye, hogy a tetraéder lapszögei hegyesszögek. A mondottakból az következik, hogy a tetraéder tetszőleges pontjának merőleges vetülete a tetraéder bármelyik lapjának síkjára a lap belső pontja, hacsak nem a lap kerületén levő pontot vetítettünk.
Jelölje , , , a tetraéder csúcsait. Legyen a csúcsnak az lap síkjára eső, pedig -nek az lap síkjára eső merőleges vetülete: , és különböző pontok. Mivel és egyaránt merőleges -re, ezért is merőleges rá. az lap belső pontja, a egyenes az háromszög magasságvonala, és szétválasztja a kerület szakaszának , végpontjait. Tehát az háromszög oldalon fekvő szögei hegyesszögek. A betűzés megváltoztatásával meggondolásunk bármely két él szögéről azt adja, hogy hegyesszög. Ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk. |
|