Legyen a 100 elemű halmaz az $1$, $2$, $\text{...}$, $100$ számok halmaza. Válasszuk ki összes egyelemű részhalmazát, valamint az $\left\{\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}n\right\}$ alakú halmazokat, ahol $n=2$, $3$, $\text{...}$, $100$. Az így kiválasztott 199 részhalmaz teljesíti a feladat feltételeit. Megmutatjuk, hogy 200 részhalmazt már nem lehet úgy kiválasztani, hogy teljesítse a feladat feltételeit, tehát a feladat kérdésére a válasz 199.
Általában azt mutatjuk meg, hogy egy $n$ elemű halmazból legfeljebb $2n-1$ részhalmaz választható ki a feladat feltételeinek megfelelően. A bizonyítást teljes indukcióval végezzük, $n=1$-re ez nyilván igaz. Tegyük most fel, hogy az állítás minden $n$-nél kisebb természetes számra igaz, és válasszuk ki egy $n$ elemű $H$ halmazból a lehető legtöbb részhalmazt úgy, hogy a részhalmazok eleget tegyenek a feltételeknek. Nyilvánvaló, hogy $H$ szerepelni fog a kiválasztottak között, hiszen ha nem szerepelne, hozzá vehetnénk, hiszen minden kiválasztott részhalmaz része $H$-nak. Bebizonyítjuk, hogy valódi részhalmazok közül legföljebb $2n-2$ szerepelhet. Legyen $A$ az (egyik) legnagyobb elemszámú a kiválasztott valódi részhalmazok között, és jelöljük $A$ elemszámát $a$-val. A feltételnek megfelelően minden további részhalmaz vagy része $A$-nak, vagy tartalmazza $A$-t, vagy diszjunkt tőle. De $A$-t tartalmazó valódi részhalmaz nem lehet, mert $A$ elemszáma maximális volt. Tehát a további kiválasztott részhalmazok között kétféle van: olyan, amelyik része $A$-nak, s olyan, amelyik diszjunkt tőle.
Azok, amelyek részhalmazai $A$-nak, $A$-val együtt egy olyan részrendszerét alkotják $A$-nak, amely teljesíti a feladat feltételét. $A$ elemszáma kisebb $n$-nél, ezért az indukciós feltétel szerint egy ilyen részhalmaz-rendszerben legföljebb $2a-1$ halmaz lehet. Az $A$-tól diszjunkt részhalmazok szintén teljesítik a feladat feltételét, és mind részhalmazai $A$ komplementerének, $H-A$-nak, amely $n-a\ge 1$ elemű, mivel $A$ nem üres. Így ($H-A$ )-ból az indukciós feltevés szerint legfeljebb $2\left(n-a\right)-1$ részhalmazt lehet kiválasztani a feladat kívánalmainak megfelelően. Azt kaptuk, hogy legfeljebb $2a-1$ olyan részhalmaz lehet, amely $A$-nak része, és legföljebb $2\left(n-a\right)-1$, amely $A$-tól diszjunkt. $H$-val együtt tehát legfeljebb $1+\left(2a-1\right)+2\left(n-a\right)-1=2n-1$ valódi részhalmazt választhattunk ki, ahogy állítottuk.
Ezzel beláttuk, hogy egy $n$ elemű halmazból legfeljebb $2n-1$ nem üres részhalmaz választható ki a feladat kívánalmainak megfelelően.