Kezdőlap


Feladat:	F.2477	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kiss Tamás
Füzet:	1984/november, 380 - 381. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/május: F.2477

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy

\begin{matrix} sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} . \end{matrix}

(1)

sin α = cos (90^{\circ} - α)

összefüggés felhasználásával

\begin{matrix} sin 10^{\circ} sin 50^{\circ} sin 70^{\circ} = cos 80^{\circ} cos 40^{\circ} cos 20^{\circ} . \end{matrix}

(2)

Szorozzuk a jobb oldalt

sin 20^{\circ}

-kal és használjuk háromszor a

cos α sin α = = \frac{1}{2} sin 2 α

, majd a

sin α = sin (180^{\circ} - α)

összefüggést:

\begin{matrix} cos 80^{\circ} cos 40^{\circ} cos 20^{\circ} sin 20^{\circ} = \frac{1}{2} cos 80^{\circ} cos 40^{\circ} sin 40^{\circ} = \\ = \frac{1}{4} cos 80^{\circ} sin 80^{\circ} = \frac{1}{8} sin 160^{\circ} = \frac{1}{8} sin 20^{\circ} . \end{matrix}

Következésképp

\begin{matrix} cos 80^{\circ} cos 40^{\circ} cos 20^{\circ} = \frac{1}{8}, \end{matrix}

(3)

hiszen

sin 20^{\circ} \neq 0

. (1), (2), (3) összevetéséből

\begin{matrix} sin 10^{\circ} sin 30^{\circ} sin 50^{\circ} sin 70^{\circ} = \frac{1}{16} . \end{matrix}

(4)

Megjegyzés. A

sin 2 φ = 2 sin φ cos φ = 2 sin φ \cdot sin (90^{\circ} - φ)

összefüggést használva

sin 10^{\circ} = 2 \cdot sin 5^{\circ} \cdot sin 85^{\circ}, sin 30^{\circ} = 2 \cdot sin 15^{\circ} \cdot sin 75^{\circ}

stb. Ezeket (4)-be téve és a

sin 45^{\circ} = \sqrt[]{2} / 2

értékkel szorozva azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} sin 5^{\circ} \cdot sin 15^{\circ} \cdot sin 25^{\circ} \cdot sin 35^{\circ} \cdot sin 45^{\circ} \cdot sin 55^{\circ} \cdot sin 65^{\circ} \cdot sin 75^{\circ} \cdot sin 85^{\circ} = \frac{\sqrt[]{2}}{512}, \end{matrix}

egy meglepő összefüggés.