|
Feladat: |
F.2476 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Argay Gy. , Badics T. , Bodor G. , Bokros Sz. , Boros 966 Z. , Csató J. , Csermely Ágnes , Csizmadia Gy. , Csótó A. , Dobos Borbála , Druzslicz F. , Edvi I. , Fülöp T. , Füst Ágnes , Gáspár L. , Gáspár Zsuzsanna , Hajdú S. Z. , Hetyei Judit , Hraskó A. , Íjjas Cs. , Karácsony P. , Kerner Anna , Kónya Eszter , Köpösdi P. , Limbek Cs. , Lipták 182 L. , Megyesi G. , Mócsy M. , Németh Buhin Á. , Olasz Szabó M. , Paál Beatrix , Paál Gy. , Pintér A. , Pintér A. , Prokaj V. , Ribényi Á. , Simon P. , Somogyi 196 A. , Tóth 728 F. |
Füzet: |
1985/március,
108 - 109. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/május: F.2476 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A bal oldalon álló kifejezés értéke az helyen , az helyen . Így a megoldandó egyenlőtlenség nem azonosság, meg kell határoznunk a bal oldal gyökeit. Ott az
| | egész együtthatós polinom áll, ennek racionális gyökei csak az olyan alakú számok közül kerülhetnek ki, amelyekre osztója a konstans tagnak, pedig a legmagasabb fokú tag együtthatójának. Mivel esetünkben mindkét szám abszolút értéke 1, racionális gyökként csak a és 1 jöhet szóba. Ezek viszont nem gyökök: Így meg kell próbálnunk a polinomot szorzattá alakítani. Vegyük észre, hogy az együtthatók abszolút értékei szimmetrikusak a középső tagra, és hogy a párokban az előjelek felváltva eltérnek, illetve megegyeznek. Az ilyen polinomokat reciprok polinomoknak szokás nevezni és gyökeik keresésében az új változó bevezetése segíteni szokott. Tegyük mi is ezt! Legyen és a polinomból emeljünk ki -t:
Az itt álló második tényezőt próbáljuk szorzattá bontani. Észrevesszük, hogy az kifejezés az helyen eltűnik, tehát belőle () kiemelhető: | | Ezt fenti alakjába visszaírva | | A jobb és bal oldal -ra a fenti átalakítások ekvivalenciája miatt egyezik meg, -ra pedig , és a jobb oldal értéke is . A keresett szorzattá alakítást megkaptuk, a megoldandó egyenlőtlenség tehát ilyen alakú: Az első tényező egy valós szám négyzete, így biztosan nemnegatív. Így az egyenlőtlenség akkor áll, ha vagy vagy Az első eset az és az számokra teljesül, a második pedig akkor, ha vagy . Ez utóbbi magában foglalja -t, hiszen . Összefoglalva, az egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha | |
Megjegyzés. Sok megoldó okoskodott a szorzattá bontás után úgy, hogy egy szám négyzete nemnegatív, tehát az egyenlőtlenség ekvivalens az egyenlőtlenséggel. Ez a gondolat hibás, az ilyen dolgozatra 3 pont járt. |
|