Feladat: F.2476 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Argay Gy. ,  Badics T. ,  Bodor G. ,  Bokros Sz. ,  Boros 966 Z. ,  Csató J. ,  Csermely Ágnes ,  Csizmadia Gy. ,  Csótó A. ,  Dobos Borbála ,  Druzslicz F. ,  Edvi I. ,  Fülöp T. ,  Füst Ágnes ,  Gáspár L. ,  Gáspár Zsuzsanna ,  Hajdú S. Z. ,  Hetyei Judit ,  Hraskó A. ,  Íjjas Cs. ,  Karácsony P. ,  Kerner Anna ,  Kónya Eszter ,  Köpösdi P. ,  Limbek Cs. ,  Lipták 182 L. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Németh Buhin Á. ,  Olasz Szabó M. ,  Paál Beatrix ,  Paál Gy. ,  Pintér A. ,  Pintér A. ,  Prokaj V. ,  Ribényi Á. ,  Simon P. ,  Somogyi 196 A. ,  Tóth 728 F. 
Füzet: 1985/március, 108 - 109. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenlőtlenségek, Magasabb fokú egyenlőtlenségek, Polinomok szorzattá alakítása, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/május: F.2476

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A bal oldalon álló kifejezés értéke az x=0 helyen -1, az x=1 helyen +2. Így a megoldandó egyenlőtlenség nem azonosság, meg kell határoznunk a bal oldal gyökeit. Ott az

f(x)=x6+4x5+2x4-6x3-2x2+4x-1
egész együtthatós polinom áll, ennek racionális gyökei csak az olyan p/q alakú számok közül kerülhetnek ki, amelyekre p osztója a konstans tagnak, q pedig a legmagasabb fokú tag együtthatójának. Mivel esetünkben mindkét szám abszolút értéke 1, racionális gyökként csak a -1 és +1 jöhet szóba. Ezek viszont nem gyökök: f(-1)=-2ésf(1)=2.
Így meg kell próbálnunk a polinomot szorzattá alakítani. Vegyük észre, hogy az együtthatók abszolút értékei szimmetrikusak a középső tagra, és hogy a párokban az előjelek felváltva eltérnek, illetve megegyeznek. Az ilyen polinomokat reciprok polinomoknak szokás nevezni és gyökeik keresésében az y=x-1/x új változó bevezetése segíteni szokott. Tegyük mi is ezt! Legyen x≠0 és a polinomból emeljünk ki x3-t:

f(x)=x3((x3-1x3)+4(x2+1x2)+2(x-1x)-6)==x3((x3-1x)3+3(x-1x)+4(x-1x)2+8+2(x-1x)-6)==x3(y3+4y2+5y+2).


Az itt álló második tényezőt próbáljuk szorzattá bontani. Észrevesszük, hogy az y3+4y2+5y+2 kifejezés az y=-1 helyen eltűnik, tehát belőle (y+1) kiemelhető:
y3+4y2+5y+2=(y+1)(y2+3y+2)=(y+1)(y+1)(y+2).
Ezt f(x) fenti alakjába visszaírva
f(x)=x3(y+1)2(y+2)=x2(x-1x+1)2⋅x(x-1x+2)=(x2+x-1)2(x2+2x-1).
A jobb és bal oldal x≠0-ra a fenti átalakítások ekvivalenciája miatt egyezik meg, x=0-ra pedig f(0)=-1, és a jobb oldal értéke is -1. A keresett szorzattá alakítást megkaptuk, a megoldandó egyenlőtlenség tehát ilyen alakú:
(x2+x-1)2(x2+2x-1)≥0.
Az első tényező egy valós szám négyzete, így biztosan nemnegatív. Így az egyenlőtlenség akkor áll, ha vagy
x2+x-1=0,
vagy
x2+2x-1≥0.
Az első eset az x1=(-1-5)/2 és az x2=(-1+5)/2 számokra teljesül, a második pedig akkor, ha x≤-1-2 vagy x≥-1+2. Ez utóbbi magában foglalja x2-t, hiszen x2>-1+2.
Összefoglalva, az egyenlőtlenség pontosan akkor teljesül, ha
x≤-1-2,vagyx=-1-52,vagyx≥-1+2.

Megjegyzés. Sok megoldó okoskodott a szorzattá bontás után úgy, hogy egy szám négyzete nemnegatív, tehát az egyenlőtlenség ekvivalens az x2+2x-1≥0 egyenlőtlenséggel. Ez a gondolat hibás, az ilyen dolgozatra 3 pont járt.