|
Feladat: |
F.2473 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bán Rita , Boros 966 Z. , Bujdosó 419 L. , Füst Ágnes , Gaál Andrea , Hetyei Judit , Horváth A. , Hraskó A. , Kovács 111 Cs. , Kruzslicz F. , Ladányi L. , Limbek Cs. , Magyar Á. , Megyesi Gábor , Németh-Buhin Á. , Paál Beatrix , Pintér A. , Ribényi Á. , Somogyi 196 A. , Szabó Szabolcs , Varga K. |
Füzet: |
1984/december,
443 - 446. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai szerkesztések, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/április: F.2473 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Nyilvánvaló, hogy ha találtunk egy megoldást, annak az egyenesre való tükörképe is megoldás, ahol az adott kör középpontját jelöli. Mindig van olyan megoldás, amely önmagának a tükörképe, vagyis a keresett húr merőleges -ra, tehát párhuzamos a húrral. Ezt a következő két lépéssel kapjuk: jelöljük -nek -re való tükörképét -gal és az egyenesnek -val való második metszéspontját -vel. Ezzel készen is vagyunk. a keresett húr egyik végpontja, és ezt -vel, -vel való , metszéspontjai nyilván három egyenlő darabra osztják (1. ábra).
1. ábra Tegyük fel, hogy van olyan, -ra nem szimmetrikus húr is a -ban, amelynek -vel, -vel való metszéspontjaira és . Tekintsük az háromszög köré írt kört, ezen is az -t nem tartalmazó ív felezőpontját (2. ábra).
2. ábra Ismeretes, hogy -ben metszi egymást az szög felezője és az húr felező merőlegese. Ámde az eredeti szöget is felezi, így miatt átmegy -n, másrészt az húrnak is felező merőlegese miatt, ennélfogva is átmegy -n, tehát azonos -val. Ezek alapján a keresett alakzathoz hasonlót szerkeszthetünk az alábbiak szerint. Legyenek egy egyenes egymás utáni pontjai úgy, hogy . Szerkesszük meg az egyenes egyik partján az szakasz nyílású látókörívét, vegyük hozzá a teljes körré kiegészítő ívét a másik parton, jelöljük felezőpontját -gal, és rajzoljuk meg körül az -on (és -on) átmenő kört (3. ábra). Ha -nak van közös pontja -gyel ‐ legyen a jele ‐, akkor az alakzat hasonló a keresett alakzathoz.
3. ábra A keresettel egybevágó alakzatot úgy kapunk, hogy az félegyenesre -tól fölmérjük az sugarat, az körüli, sugarú körrel az , egyenesből kimetsszük -ot, ill. -ot. Végül az adott körből kimetsszük -tól , ill távolságra levő , ill. pontot. Ezek a keresett húr végpontjai. (Az utolsó két lépéssel tükörképének végpontjait is megkaphatjuk.) A szerkesztés helyességének bizonyítását az olvasóra hagyjuk. Megjegyzések. 1. Érdekes változatot írt le az idézett verseny egyik résztvevője a tengelyszimmetrikus húr szerkesztésére. Legyen vetülete a kör -beli érintőjére , a és szakasznak az érintőhöz közelebbi harmadoló pontja , ill. , ekkor a keresett húr végpontjait -ból az félegyenes metszi ki (4. ábra).
4. ábra Föntebb az tengelyre merőleges irányú, -szoros nyújtással kaptuk -ből -ot, itt viszont irányú -os zsugorítás történt. Mondhatjuk ezt is: az illető takarékoskodott a papírral. Megjegyezzük, hogy a szerkesztésekre szokásosan tett korlátozások között ‐ mint: csak egyenes vonalzó vagy csak körző használata, korlátozott hosszúságú vonalzó stb. ‐ szerepelnek terjedelemkorlátozások is. Például az pont összekötendő a és egyenesek metszéspontjával, annak ellenére, hogy kiesik a rajzlapról. 2. A fönti ,,elemi'' megoldás mellé közlünk olyat is, amely számításon alapul. Oka kettős. A fenti megoldót leszámítva minden beküldő számításra támaszkodott, és az idézett versenyen sem érkezett elemi megoldás. A másik: a fenti szép megoldásban kissé ködbe vész a megoldhatóság feltétele: ,,...amennyiben -nak van közös pontja az ívvel...'' II. megoldás. Kiszámítjuk az szakasz hosszát -ből és a szögből. Legyen a keresett húr és az harmadoló pontjai közti szakasz közös felezőpontja és . Az követelményből Az I. megoldás szerint rajta van az háromszög körülírt körén, másrészt az egyenesnek -t nem tartalmazó partján; ezért és . Ezekből
Ez a szakasz a következő lépésekben szerkeszthető.
5. ábra Legyen és , továbbá és , végül vetülete -n (a átmérőjű kör második közös pontja -val, 5. ábra). Könnyű belátni, hogy ekkor , tehát a keresett húr harmadoló pontjait az körüli, sugarú kör metszi ki az adott húrokból. létrejön, ha , ahol az húr felezőpontja.
Ha , akkor csak a triviális megoldás jön létre. Egyenlőség esetén a húr felezőpontjába esik, emiatt . |
|