A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ha a négy pont közül kettő egybeesik, ezek távolsága nulla, a többi öt távolság legföljebb egy, így a hat távolság négyzetösszege legfeljebb . Az el is érhető; ha három pont szabályos egységnyi oldalú háromszöget alkot, s a negyedik egybeesik e három pont valamelyikével. Most belátjuk, hogy ha a négy pont különböző, akkor a hat távolság négyzetösszege kisebb -nél. Ismeretes ugyanis, hogy ha , , különböző pontok, akkor a aszerint kisebb vagy egyenlő, vagy nagyobb -nél, hogy a szög kisebb, egyenlő vagy nagyobb -nál. Ez következik például abból, hogy a koszinusz-tétel szerint Ha tehát a négy pont között van három, , , , amelyre , akkor , másrészt a negyedik pont távolsága e három pont mindegyikétől legföljebb , tehát a hat távolság négyzetösszege kisebb -nél. Maradt az az eset, ha a négy pont mind különböző és nincs közte három , , , amelyre . Belátjuk, hogy ekkor a négy pont téglalapot alkot. Tekintsük ugyanis a négy pont konvex burkát. Ez nem lehet szakasz, hiszen akkor a négy pont egy egyenesen volna, s a két szélsőt választva -nek és -nek, valamelyik belsőt -nak, a volna, ami nagyobb -nál. Ha a konvex burok háromszög, akkor a negyedik pont ennek belsejében van. Ebből a pontból valamelyik oldal -os vagy annál nagyobb szögben látszik, s így megint találtunk pontokat, amelyekre . Ha végül a konvex burok négyszög, akkor a négy pont konvex négyszöget alkot. Ez vagy téglalap, vagy valamelyik csúcsában -nál nagyobb szög van. Utóbbi esetben megint találtunk három pontot, amelyre . ( a tompaszög csúcsa, és a két szomszédos csúcs.) Ezekben az esetekben tehát készen vagyunk. Az az egyetlen eset maradt hátra, mikor a négy pont téglalapot alkot. Legyen ez a téglalap . Pitagorasz tétele szerint és másrészt , tehát a hat távolság négyzetösszege most . Ezzel beláttuk, hogy a hat távolság négyzetösszege akkor maximális, ha a négy pont közül három egy egységnyi oldalú szabályos háromszöget alkot, s a negyedik pont ezek egyikével egybeesik. A távolságok négyzetösszege ekkor .
Megjegyzés. A bizonyítás során tulajdonképpen azt láttuk be, hogy négy pont között mindig van három, , , , amelyek vagy egy egyenesen vannak, vagy amikre . |