Kezdőlap


Feladat:	F.2467	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/december, 442. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Paralelogrammák, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: F.2467

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A paralelogramma átlói felezik egymást, legyen tehát $F$ az $A C$ és $B D$ átlók közös felezőpontja. Nyilván $A F / B F = A C / B D$ , elég tehát belátni, hogy

\begin{matrix} \frac{A F}{B F} \leq ctg \frac{B A D ∢}{2} . \end{matrix}

Legyen

K

A B D

háromszög köré írt kör középpontja. A feltétel szerint

B A D ∢ \leq A D C ∢

. E két szög összege

180^{\circ}

, tehát

B A D ∢ \leq 90^{\circ}

. Ebből következik, hogy

K

és

A

B D

egyenesnek ugyanazon a partján van. Legyen

G

B D

szakasz

F K

felező merőlegesének valamint az

A B D

köré írt körnek az a metszéspontja, amire

G

és

A

B D

egyenesnek ugyanarra a partjára esik. A

B A D

és a

B G D

kerületi szögek egyenlők,

G F

pedig felezi a

B G D

szöget, tehát

\begin{matrix} ctg \frac{B A D ∢}{2} = ctg \frac{B G D ∢}{2} = ctg B G F ∢ = \frac{G F}{B F} . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} G F = G K + K F = A K + K F \geq A F, \end{matrix}

a háromszög egyenlőtlenség szerint. Azt kaptuk tehát, hogy

\begin{matrix} ctg \frac{B A D ∢}{2} = \frac{G F}{B F} \geq \frac{A F}{B F}, \end{matrix}

ahogy állítottuk.
Egyenlőség csak akkor állhat fenn, ha

A K + K F = A F

. Ez két esetben fordulhat elő: ha

A = G

vagy ha

K = F

. Előbbi esetben a paralelogramma rombusz, mert

A B = B D

, utóbbi esetben a paralelogramma téglalap, mert

B A D ∢ = 90^{\circ}