|
Feladat: |
F.2466 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Argay Gy. , Badics T. , Bán Rita , Boros 966 Z. , Bujdosó 419 L. , Csermely Ágnes , Deák CS. , Edvi T. , Fülöp T. , Gáspár Zsuzsanna , Hegedűs P. , Hetyei Judit , Hraskó A. , Ispány Márton , Karácsony P. , Katona Gy. , Kerner Anna , Kós G. , Kovács 111 S. , Kruzslicz F. , Ladányi L. , Limbek Cs. , Magyar Á. , Megyesi G. , Mócsy M. , Németh-Buhin Á. , Nyikes T. , Paál Beatrix , Pfeil T. , Pintér A. , Ribényi Á. , Simon P. , Somogyi Á. , Szabó Sz. , Varga K. |
Füzet: |
1984/november,
377 - 379. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Egyenlőtlenségek, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/március: F.2466 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Bizonyítsuk be, hogy minden , , valós számhármashoz van olyan egynél nem nagyobb abszolút értékű szám, amelyre Írható-e az egyenlőtlenségben helyett nagyobb szám? I. megoldás. Jelöljük az kifejezést -szel. Azt állítjuk, hogy tetszőleges , , -re az , , és valamelyikének abszolút értéke legalább , tehát a feladatbeli -et e négy szám egyikének is választhatjuk. Ez utóbbi állításunk igazolásához nyilván elegendő megmutatni, hogy | | (2) | Ennek igazolására többször is felhasználjuk a tetszőleges , számokra érvényes egyenlőtlenséget. (2) bal oldalának első és utolsó tagjára
A középső tagokra ugyanígy
(2) bal oldalának értéke ezek szerint legalább | | ahogyan állítottuk.
A feladat kérdésére tagadó a válasz, ennek bizonyításához elegendő olyan , , számokat találnunk, melyekre az abszolút értéke a [] intervallumon legfeljebb . Az , , ilyen számhármas: esetén
tehát ebben az intervallumban valóban
II. megoldás. Először a feladat második felét oldjuk meg. Ismeretes, hogy . Ezért ha a [] intervallumba esik, akkor -t úgy választva, hogy legyen, a következő teljesül: | | Következésképpen a függvényre a [] intervallumon vagyis (1)-ben az helyébe nagyobb számot nem lehet írni. (3)-ben egyenlőség áll, ha olyan, hogy , vagyis ). Tehát az alábbi értékek valamelyike, mégpedig , és . Ezek után a bizonyítandó állítással ellentétben tegyük fel, hogy valamely , , számhármasra az polinom értéke a intervallumon végig kisebb -nél. Nézzük a polinomot! legfeljebb másodfokú, következésképp vagy azonosan nulla, vagy legfeljebb két gyöke lehet. Ám indirekt feltevésünk szerint az , , és mindegyike kisebb -nél, így
tehát az , , és helyeken felváltva pozitív illetve negatív. Így nem azonosan nulla és kell gyökének lennie és között, és között, valamint és között is. Ez már három (különböző) gyök volna, ami ellentmond annak a megállapításunknak, hogy a -nek legfeljebb két gyöke van.
Megjegyzés. A második megoldásból az is kiolvasható, hogy ha az -edfokú | | polinom a [] intervallumban különböző helyen ugyanolyan abszolút értékű, mégpedig felváltva hol pozitív, hol negatív előjellel, akkor tetszőleges számokra az | | polinom abszolút értéke a [] intervallumban nem lehet mindenütt kisebb -nál. Azt sem nehéz belátni, hogy | | Így ha -nek a együtthatója -szeresét választjuk és ezt az értéket a függvény helyen váltakozó előjellel veszi fel. Tehát tetszőleges számokhoz van olyan legfeljebb abszolút értékű , amivel | |
Ezt az egyenlőtlenséget úgyis fogalmazhatjuk, hogy ha a intervallumon az függvényt akarjuk közelíteni egy legfeljebb -edfokú polinommal, akkor a hiba valahol vagy annál nagyobb lesz. (4) szerint a lehető legjobban közelít, és az is könnyen adódik, hogy ez az egyetlen. -et egyébként másodfajú Csebisev-polinomnak nevezik, sok további érdekes és fontos tulajdonsága is van. |
|