Kezdőlap


Feladat:	F.2465	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bujdosó László , Ispány Márton
Füzet:	1984/december, 440 - 441. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Binomiális együtthatók, Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: F.2465

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bizonyítsuk be, hogy minden $n$ természetes számra

\begin{matrix} \sqrt[n]{n} < 1 + \sqrt[]{\frac{2}{n}} . \end{matrix}

(1)

Megoldás: Föltehető, hogy

n \geq 2

, hisz

n = 1

-re az állítás nyilvánvalóan igaz. Emeljük (1) mindkét oldalát

n

-edik hatványra. Az alapok pozitívak, így az alábbi, (1)-gyel ekvivalens egyenlőtlenséget kapjuk:

\begin{matrix} n < {(1 + \sqrt[]{\frac{2}{n}})}^{n}, \end{matrix}

(2)

(2) jobb oldalát a binomiális tétel szerint kifejtve kapjuk, hogy:

\begin{matrix} {(1 + \sqrt[]{\frac{2}{n}})}^{n} = 1 + (\binom{n}{1}) (\sqrt[]{\frac{2}{n}}) + (\binom{n}{2}) {(\sqrt[]{\frac{2}{n}})}^{2} + ... + (\binom{n}{n}) {(\sqrt[]{\frac{2}{n}})}^{n} . \end{matrix}

(3)

Mivel

n \geq 2

, (3) jobb oldala legalább

3

tagból áll, így nem nő, ha csak az első

3

tagját hagyjuk meg, hiszen minden tag pozitív. Eszerint

\begin{matrix} {(1 + \sqrt[]{\frac{2}{n}})}^{n} \geq 1 + (\binom{n}{1}) \sqrt[]{\frac{2}{n}} + (\binom{n}{2}) {(\sqrt[]{\frac{2}{n}})}^{2} = 1 + \sqrt[]{2 n} + (n - 1) = n + \sqrt[]{2 n} . \end{matrix}

(4)

n + \sqrt[]{2 n} > n

miatt (4)-ből következik a bizonyítandó (1) egyenlőtlenség.

Megjegyzések. 1. A fenti bizonyításban lényeges volt az

n = 1

eset megkülönböztetése, hisz a második rész gondolatmenete ekkor nem alkalmazható.

2. Belátjuk, hogy fennáll a bizonyítandónál élesebb

\begin{matrix} \sqrt[^{n}]{n} < 1 + \frac{1}{\sqrt[]{n}} \end{matrix}

egyenlőtlenség is. Az ezzel

n \geq 2

estén ekvivalens

\frac{1}{\sqrt[^{n}]{n} - 1} > \sqrt[]{n}

egyenlőtlenséget bizonyítjuk. A bal oldalon a nevezőt gyöktelenítve:

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[^{n}]{n} - 1} = \frac{{(\sqrt[^{n}]{n})}^{n - 1} + ... + \sqrt[^{n}]{n} + 1}{{(\sqrt[^{n}]{n})}^{n} - 1} = \frac{{(\sqrt[^{n}]{n})}^{n - 1} + ... + \sqrt[^{n}]{n}}{n - 1} + \frac{1}{n - 1} . \end{matrix}

A kapott egyenlőség jobb oldalán

n - 1

darab pozitív szám számtani közepe áll. E számok mértani közepe épp

\sqrt[]{n}

, ahonnan

\frac{1}{\sqrt[^{n}]{n} - 1} \geq \sqrt[]{n} + \frac{1}{n - 1} > \sqrt[]{n}

, és épp ezt akartuk bizonyítani.

3. Az

f (x) = 1 + \frac{1}{\sqrt[]{x}} - x^{\frac{1}{x}} (x > 0)

függvény vizsgálatából is kiderül, hogy

x^{\frac{1}{x}} < 1 + \frac{1}{\sqrt[]{x}}

minden pozitív valós

x

-re.