Kezdőlap


Feladat:	F.2464	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bujdosó László
Füzet:	1985/február, 62. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/március: F.2464

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes a következő azonosság:

\begin{matrix} {(x + y + z)}^{3} - (x^{3} + y^{3} + z^{3}) = 3 (x + y) (x + z) (y + z) . \end{matrix}

Minthogy

x + y + z = x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3

, ezért

\begin{matrix} 3 (x + y) (x + z) (y + z) = 3^{3} - 3 = 24, azaz \\ (x + y) (x + z) (y + z) = 8. \end{matrix}

Itt a bal oldalon álló szorzat tényezői egészek, és mivel

x + y + z = 3

, ezért a tényezők összege

6

, ami páros. A tényezők közül tehát páros számú, azaz vagy

0

vagy

2

darab lehet páratlan.
Ha minden tényező páros, akkor mindegyikük abszolút értéke

2

, és minthogy összegük

6

, ezért

\begin{matrix} x + y = x + z = y + z = 2. \end{matrix}

Ekkor

x = x + y + z - (y + z) = 3 - 2 = 1

, és hasonlóan

y = z = 1

.
Ha két páratlan tényező van, akkor ezek értéke

+ 1

vagy

- 1

, így a harmadik tényező

+ 8

vagy

- 8

. Ez utóbbi azonban nem lehet, mert ekkor a tényezők összege legfeljebb

- 6

lehetne. Így az egyetlen páros tényező

8

, a másik kettő pedig

- 1

.
Három eset lehetséges, az egyik

\begin{matrix} x + y = 8 x + z = y + z = - 1. \end{matrix}

Ekkor

x = x + y + z - (y + z) = 3 + 1 = 4

, és hasonlóan

y = 4

z = - 5

. A tényezők alkalmas felcserélésével még két megoldást kapunk.
Az egyenletet tehát négy, egészekből álló számhármas elégíti ki, amelyek helyességéről visszahelyettesítéssel könnyen meggyőződhetünk:

\begin{matrix} x = y = z = 1; x = y = 4, z = - 5; x = z = 4, y = - 5; y = z = 4, x = - 5. \end{matrix}