Kezdőlap


Feladat:	F.2459	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/október, 308. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Maradékos osztás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/február: F.2459

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a középső, $(n + 1)$ -edik természetes számot $a$ -val. Ekkor a vizsgálandó négyzetösszeg

\begin{matrix} S_{n} & = {(a - n)}^{2} + {(a - (n - 1))}^{2} + ... + a^{2} + ... + {(a + (n - 1))}^{2} + {(a + n)}^{2} = \\ = (2 n + 1) a^{2} + 2 (1^{2} + 2^{2} + ... + n^{2}) . \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} n = 1 esetén S_{1} = 3 a^{2} + 2, \\ n = 2 esetén S_{2} = 5 a^{2} + 10 = 5 (a^{2} + 2), \\ n = 3 esetén S_{3} = 7 a^{2} + 28 = 7 (a^{2} + 4), \\ n = 4 esetén S_{4} = 9 a^{2} + 60 = 9 (a^{2} + 6) + 6. \end{matrix}

Belátjuk, hogy

n = 1, 2, 3, 4

esetén

S_{n}

nem lehet négyzetszám. Ehhez először azt vizsgáljuk meg, hogy a négyzetszámok 3, 5, 7 és 9-cel osztva milyen maradékot adhatnak. Ha egy

m

szám

k

-val osztva

r

maradékot ad, akkor

m^{2}

és

r^{2}

is ugyanezt a maradékot adja. Valóban,

m^{2} - r^{2} = (m - r) (m + r)

osztható

k

-val, hiszen

k / m - r

. Ennek alapján könnyen látható, hogy a négyzetszámok 3-mal osztva 0 vagy 1; 5-tel osztva 0, 1 vagy 4; 7-tel osztva 0, 1, 2 vagy 4; 9-cel osztva 0, 1, 4 vagy 7 maradékot adhatnak.
Visszatérve az

S_{n}

számok vizsgálatára,

S_{1}

3-mal osztva 2 maradékot ad, így nem lehet négyzetszám,

S_{2}

5-tel osztható, de 25-tel nem, hiszen

a^{2}

ötös maradéka nem lehet 3. Így

S_{2}

nem lehet négyzetszám, mert a négyzetszámok prímtényezős felbontásában minden prímszám páros kitevőjű hatványon szerepel. Hasonlóan

S_{3}

7-tel osztható, de 49-cel nem, mert

a^{2} + 4

nem osztható 7-tel. Végül

S_{4}

sem négyzetszám, mert kilences maradéka 6.

Megjegyzések. 1. Többen észrevették, hogy

n = 5

esetén a helyzet változik:

18^{2} + 19^{2} + ... + 28^{2} = 77^{2}

, tehát van 11 egymást követő természetes szám úgy, hogy négyzetösszegük négyzetszám.

2. Nehéz kérdésnek látszik, hogy általában milyen

n

-ekre található

(2 n + 1)

egymást követő természetes szám, melyek négyzetösszege négyzetszám.