Kezdőlap


Feladat:	F.2458	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1984/október, 307 - 308. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Irracionális egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1984/február: F.2458

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük (1) bal oldalán az első és második összeadandót $a$ -val, $b$ -vel. Ezekre

\begin{matrix} a + b = 7 \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} a^{3} + b^{3} = (2 x^{2} + x - 9) + (100 - x - 2 x^{2}) = 91. \end{matrix}

(3)

{(a + b)}^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 a b (a + b)

azonosság felhasználásával (2) és (3)-ból kiszámíthatjuk

a b

értékét:

\begin{matrix} a b = \frac{{(a + b)}^{3} - a^{3} - b^{3}}{3 (a + b)} = 12. \end{matrix}

Ennek és (2)-nek alapján

a

és

b

lehetséges értékei

a = 3

és

b = 4

vagy

a = 4

és

b = 3

. Ezek az értékpárok természetesen kielégítik (2)-t és (3)-at is, így például a

\begin{matrix} 2 x^{2} + x - 9 = a^{3} \end{matrix}

(4)

alapján adódó

x

értékek (1)-et.

a = 3

-at választva (4)-ből

\begin{matrix} x_{1} = 4; x_{2} = - \frac{9}{2}; \end{matrix}

a = 4

esetén

\begin{matrix} x_{3} = \frac{- 1 + 3 \sqrt[]{65}}{4}; x_{4} = \frac{- 1 - 3 \sqrt[]{65}}{4} . \end{matrix}

Az (1) egyenletnek tehát ezek, és csakis ezek a megoldásai.