A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először belátjuk a következőt. Ha 4 pont úgy helyezkedik el a síkon, hogy 1 közülük a másik 3 által meghatározott háromszög belsejében van, akkor a 4 pontból kiválasztható két ponthármas, amelyek által meghatározott két háromszögben a legkisebb szög különböző. (Legkisebb szögről itt abban az értelemben a beszélünk, hogy a szóban forgó szögnél nincs kisebb szöge a háromszögnek.) Ha ugyanis az háromszög belső pontja, és az háromszög legkisebb szöge (1. ábra), akkor pl. az háromszög legkisebb szöge biztosan kisebb -nál. Jelölje az háromszög legkisebb szögét. Egyrészt , másrészt , ezért .
1. ábra Mármost ha a 6 adott pont konvex burka háromszög, négyszög vagy ötszög, mindig található az előbbi tulajdonsággal rendelkező pontnégyes. Minthogy semelyik 3 pont sincs egy egyenesen, a konvex burok belsejében is található pont. Azt, hogy egy belső pont valamelyik ponthármas által meghatározott háromszögbelső pontja is egyben, biztosítja, hogy semelyik 3 pont nem esik egy egyenesre. Ezekben az esetekben tehát a feladat állítása bizonyított.
2. ábra Ha a 6 megadott pont konvex burka hatszög (2. ábra), akkor válasszuk ki a hatszögnek minden második csúcsát, pl. -t, -t és -t. Az háromszög legkisebb szöge legyen mondjuk a . Mivel , az háromszög legkisebb szöge kisebb az háromszög legkisebb szögénél. Ezzel a feladat állítását minden lehetséges esetre bebizonyítottuk.
Megjegyzés. 1. A fenti megoldás gondolatmenetét alkalmazva a következő erősebb állítás is belátható: Ha öt pont közül semelyik három nincs egy egyenesen, s bármely három által meghatározott háromszögben ugyanakkora a legkisebb szög, akkor az öt pont szabályos ötszöget alkot. Ebből a feladat állítása következik, hiszen hat pont közül nem alkothat bármelyik öt szabályos ötszöget.
2. A szabályos hatszög bármely három csúcsa és a kimaradó három csúcs egymással egybevágó háromszöget alkot. A feladat szövegéből tehát nem hagyható el a "nem feltételenül diszjunkt'' feltétel.
3. A szabályos nyolcszög csúcsai közül bármely három által alkotott háromszögben 22,5-os vagy 45-os a legkisebb szög. Nyílt kérdés azonban, hogy kilenc pont közül kiválasztható-e mindig három olyan (nem feltétlenül diszjunkt) ponthármas, amelyek által alkotott háromszögek legkisebb szöge páronként különböző. |