|
Feladat: |
F.2455 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Alexy N. , Badics T. , Bán Rita , Bujdosó L. , Bujdosó Mónika , Csermely Ágnes , Csonka L. , Déry Emőke , Fülöp T. , Füst Ágnes , Galgóczi J. , Giba P. , Hajós Zsuzsanna , Hetyei Judit , Horváth A. , Hraskó A. , Íjjas Cs. , Ispány Márton , Kaiser A. , Kánnár J. , Karácsony P. , Katona Gy. , Kecskés J. Zs. , Kerner Anna , Komorowicz J. , Kovács 111 S. , Kruzslicz F. , Kukuda Z. , Ladányi L. , Limbek Cs. , Magyar Á. , Marosvári Zs. , Mócsy M. , Németh Buhin Á. , Nyikes T. , Paál Beatrix , Pfeil T. , Pintér A. , Ribényi Á. , Sárközi G. , Simon Gy. , Simon P. , Somogyi Á. , Szabó Sz. , Uhlmann E. , Varga 610 J. , Varga K. |
Füzet: |
1984/november,
369 - 370. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1984/január: F.2455 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöléseink: az , , nagyságú szög csúcsai rendre , , , a szemben fekvő oldalak hossza rendre , , , ezek felező merőlegese rendre , , , az pontnak ezekre való tükörképe rendre , , . Bármelyik két tükörkép átfordítható egymásba az illető két tükörtengely metszéspontja körüli forgatással. Elég ezt pl. az , képpárra belátni. Felhasználjuk, hogy két nem párhuzamos tengelyen való, egymás utáni tükrözés eredménye (a síkban) az a forgatás, melynek középpontja a tengelyek közös pontja, szöge -szer akkora, mint amekkora elfordítás szükséges az elsőként használt tengelynek a másodikba való átviteléhez, és hogy e két elfordítás iránya egyező. Az , tengelypár közös pontja az háromszög köré írt kör középpontja. az -n tükrözve -be jut vissza, onnan -be az -n való tükrözés útján, tehát az forgásszög -szer akkora, mint az -t -be vivő forgásszög. Az utóbbi pedig akkora, mint az oldalegyenest -be átvivő forgás, hiszen a egyenes merőleges -ra és az egyenes merőleges -re. Az , egyenespár közös pontja a csúcs, tehát . Mivel pedig -n is átmegy, azért ugyanígy és ; továbbá képe önmaga, tehát a tükörképek rajta vannak az körüli, sugarú körön. Ekkor pedig a középponti és a kerületi szögek közti összefüggés szerint , ugyanígy , . Így a szögek egyezése folytán az háromszög valóban hasonló az háromszöghöz. Mindeddig nem használtuk fel, hogy a súlypont, ennélfogva az állítás első fele a sík tetszőleges pontjára érvényes, hacsak a háromszög létezik, vagyis , , különböző pontok, más szóval a kiindulási pont legföljebb egy felező merőlegesen van rajta. Ez a feltétel bármely háromszögben csak a körülírt kör középpontjára nem teljesül. Másrészt azt is tüstént látjuk, hogy szabályos háromszög esetében az állításnak nincs tartalma; különben ekkor az (1) kifejezés értéke is . A tétel általános jellegére tekintettel hozzátesszük a forgási irányok fönt idézett egyezésének jelentését. Láttuk, hogy az irányt is figyelembe véve , eszerint az , , pontok forgási iránya ellentétes irányú az pontok irányával a körülírt körük közös középpontja körül; rövidebben: az háromszög körüljárási iránya ellentétes az háromszögével.
b) A tükörképek alkotta háromszög és az eredeti háromszög hasonlósági arányát mindig megadja a köréjük írt körök sugarainak aránya, vagyis , ahol az háromszög köré írt kör sugara. Most ezt fejezzük ki a szögekkel, kihasználva, hogy az háromszög súlypontja. Jelöljük az -ból mint kezdőpontból az , , csúcsokba mutató, hosszúságú helyvektorokat a-val, b-vel, c-vel. Ekkor a súlypont helyvektora:
Az a, b, c vektorok párjai által bezárt szögek fentiek szerint rendre 2γ, 2α, 2β, így ab=r2cos2γ,bc=r2cos2α,ca=r2cos2β.OS2r2=19r2(3r2+2r2(cos2γ+cos2α+cos2β))=19(1-2(-1+cos(180∘-2α)++cos(180∘-2β)+cos(180∘-2γ))).
A -1=cos180∘ és 180∘=α+β+γ helyettesítést elvégezve és a
cos(x+y)+cos(x-y)=2cosxcosy
azonosságot ismételten alkalmazva 9⋅OS2r2=1-2(cos(α+β+γ)+cos(β+γ-α)+cos(α+γ-β)+cos(α-γ+β))==1-4(cosαcos(β+γ)+cosαcos(β-γ))=1-8cosαcosβcosγ.
Ezzel az állítás második részét is igazoltuk. Eredményünkből speciálisan az is kiadódik, hogy 1-8cosαcosβcosγ nem negatív, vagyis minden háromszögben
cosαcosβcosγ≤18,
és egyenlőség csak OS=0 esetben áll, vagyis ha a háromszög szabályos.
c) Az állítás második része sem egyedül a súlypontra érvényes, hanem az O körüli, OS sugarú kör minden pontjára, hiszen a hasonlósági arányban csak az OS távolság szerepel, még ha a kiszámításában valóban a súlypontra támaszkodtunk is. Megjegyzés. Mivel az ABC és SaSbSc hasonló háromszögek körüljárása ellentétes, azért általában nincs a síkon olyan pont, amely körül alkalmas forgatva nyújtással egymásba transzformálhatók volnának. (Más kérdés, hogy ha pl. AB=AC≠BC, akkor az SaSbSc‐ABC háromszögpárnak van hasonlósági centruma.) |
|