Feladat: F.2452 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Badics T. ,  Bán Rita ,  Birkás Gy. ,  Boros 966 Z. ,  Bujdosó 419 T. ,  Fülöp T. ,  Hegedűs P. ,  Hetyei Judit ,  Hraskó A. ,  Illés L. ,  Ilosvay F. ,  Jenei J. ,  Karácsony P. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Komorowicz J. ,  Kós G. ,  Kovács 111 S. ,  Kruzslicz F. ,  Ladányi L. ,  Limbek Cs. ,  Magyar Á. ,  Márkus G. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Németh Buhin Á. ,  Paál Beatrix ,  Pintér Gabriella ,  Ribényi Á. ,  Sasvári Cs. ,  Simon Gy. ,  Somogyi 196 A. ,  Szabó 741 Z. ,  Szabó Sz. ,  Varga 610 J. ,  Varga K. ,  Varsányi L. 
Füzet: 1984/október, 302 - 304. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Valós számok és tulajdonságaik, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1984/január: F.2452

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az a) tulajdonság szerint bármely x, y, z számra x*(y*z)=(x*y)*z. A b) tulajdonságból (x*y)*z=(y*z)*x, e kettőből pedig

MMMMMMMMMMMx*(y*z)=(y*z)*x.MMMMMMMMMMd)
Ez minden x, y, z-re már "majdnem'' a bizonyítandó állítás (lásd a 3. megjegyzést), csakhogy eszerint a * olyan elemeken cserélhető fel, amik közül legalább az egyik a * művelet eredménye. (A d)-ből úgy sem következik a kívánt állítás, hogy z helyére x-et írunk, és felhasználjuk rá a)-t: (x*y)*x=(y*x)*x, majd egyszerűsítünk x-szel, lásd a 2. megjegyzést).
Tegyük fel, hogy az állítás nem volna igaz, azaz volna olyan x és y, amire
x*y≠y*x,
Ekkor a c) tulajdonság felhasználásával van olyan u, hogy
u*(x*y)≠u*(y*x),
és ekkor ismét a c) tulajdonság felhasználásával van olyan v is, hogy
v*(u*(x*y))≠v*(u*(y*x)),(1)
ez viszont már nem lehet! Ugyanis az (x*y)-t egyetlen számként kezelve, a)-ból
v*(u*(x*y))=(v*u)*(x*y),
és például a (v*u)-t egy számként kezelve, a d) tulajdonságból
(v*u)*(x*y)=(x*y)*(v*u).
Tehát (1) bal oldala egyenlő (x*y)*(v*u)-val.
Most nézzük (1) jobb oldalát. Az a) tulajdonságból
v*(u*(y*x))=(v*u)*(y*x),
a (v*u)-t egy számnak tekintve, ismét az a) tulajdonságból
(v*u)*(y*x)=((v*u)*y)*x.

Az első zárójelben álló kifejezésre a d) tulajdonságot használjuk fel:
((v*u)*y)*x=(y*(v*u))*x.

A (v*u)-t a továbbiakban egyetlen számnak tekintjük, és először a d), utána pedig az a) tulajdonságot használjuk:
(y*(v*u))*x=x*(y*(v*u))=(x*y)*(v*u).
Tehát az (1) egyenlőtlenség jobb oldala is egyenlő (x*y)*(v*u)-val. Ellentmondásra jutottunk, tehát valóban minden x és y-ra x*y=y*x.
 

Megjegyzések. 1. Az a) tulajdonságból, amit asszociativitásnak mondanak, levezethető, hogy több egymás utáni * művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, legfeljebb a tényezők sorrendjétől. Noha ez a bizonyítást leegyszerűsítette volna, a könnyebb érthetőség kedvéért megmaradtunk az a) tulajdonság közvetlen felhasználása mellett.
 

2. Több megoldás felhasználta, hogy ha a*b=a*c, akkor b=c ("egyszerűsítési szabály"). De ez nem következik az adott tulajdonságból! Mivel a c) nem azt állítja, hogy x≠y esetén minden z-re z*x≠z*y, hanem azt, hogy ilyen z létezik, csak annyit mondhatunk, hogy ha minden z elemre z*x=z*y, akkor x=y. Könnyen adhatunk példát olyan * műveletre, ami kielégíti az a), b), c) tulajdonságokat, és mégsem érvényes rá az egyszerűsítési szabály. Ilyen például a következő: 1*x=x, x*1=x, és ha x≠1, y≠1, akkor x*y=0. Ennél 2*3=2*4=0, de persze 3≠4.
 

3. További probléma, hogy a d) tulajdonság már "majdnem'' a kívánt állítás. Csakhogy ahhoz, hogy ebből x*p=p*x adódjon, be kellene látni, hogy minden p-hez létezik olyan y és z szám, hogy p=y*z, hiszen csak így következne x*p=x*(y*z)=(y*z)*x=p*x. De ez, noha a 2. megjegyzésben megadott műveletre és a szorzásra, összeadásra is igaz, általában nem teljesül. Ha például a * műveletet igy definiáljuk: 1*x=x*1=10x, és x≠1,y≠1 esetén x*y=0, akkor az a), b), c) tulajdonság teljesül, de vannak számok, amik nem állnak elő y*z alakban, nevezetesen a negatívok.
 

4. Mint látható, az összeadás és szorzás műveleteken kívül sok más is van, ami az a), b), c) tulajdonságokkal bír. Tehát nem igaz, amit sok megoldás feltételezett, hogy a * művelet a + vagy a ⋅ művelettel egyezik meg.