Feladat: F.2445 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Bujdosó 419 L. ,  Edvi T. ,  Erdős L. ,  Fülöp T. ,  Íjjas Cs. ,  Karácsony P. ,  Katona Gy. ,  Komorowicz J. ,  Ladányi L. ,  Limbek Cs. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Nagy 248 T. ,  Selyem I. ,  Varga 135 L. ,  Varga Károly 
Füzet: 1984/április, 159 - 161. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Ábrázoló geometria, Szerkesztések a térben, Feladat, Kocka, Hasábok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/november: F.2445

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel az ABCD, A1B1C1D1 kockából előállítandó testnek hárommal több lapja kell legyen, mint magának a kockának, ezért az átfúrást háromoldalú hasábbal végezzük. A lapok egybevágóságára vonatkozó előírásokat szem előtt tartva egyrészt a hasáb keresztmetszetéül szabályos háromszöget választunk, másrészt a hasáb tengelyét a kocka egyik testátlójára illesztjük. Ezekkel biztosítjuk, hogy az átfúrás a kockának 3‐3 lapján ugyanazt a változást hozza létre.
Vetítsük a kockát (merőlegesen) az AC1 testátlójára merőleges síkra. Mivel a kocka élei egyenlő hosszúságúak és egyenlő szögeket zárnak be a testátlóval, a kapott vetület szabályos hatszög. A kockát a kiszemelt testátló mentén átfúró hasáb vetülete pedig szabályos háromszög, amelynek súlypontja a testátló vetülete (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Ha az AC1 testátló mint tengely körül akár a kockát, akár a hasábot 120∘-kal elforgatjuk, ezek önmagukba mennek át. Ez a forgásszimmetria már biztosítja, hogy a kifúrás útján kapott test (toroid) 9 lapja az egybevágóság szempontjából legfeljebb három csoportba tartozik. Egybevágók egymással a kocka 3C1-ben összefutó lapjából keletkező lapok, ugyanígy az A-ban összefutó lapokból kapottak, végül a furatot határoló belső lapok is.
Ahhoz, hogy az alsó lapok a felsőkkel egybevágók legyenek, további szimmetria létesítése segít. A kocka másféle tengelyekre is szimmetrikus: két szemközti, BC és A1D1 élének felezőpontját összekötő YX tengely körül 180∘-os elfordítás a 6 lapot páronként felcseréli. Az 1. ábrán pont-vonallal ábrázolt egyenes az egyik olyan szimmetriatengelynek a vetülete, amelyre vonatkozó tükrözés a kocka három "alsó'' lapját a három "felsőbe'' viszi. Ez a tengely merőleges a kocka AC1 testátlójára, hiszen annak végpontjait egymásba viszi át, ezért merőleges a háromoldalú hasáb oldaléleire is. Ha tehát a hasábot úgy helyezzük el, hogy vetülete szimmetrikus legyen a pont-vonallal ábrázolt egyenesre, akkor az új tengely körül 180∘-os forgatás a hasábot is önmagába viszi át, és a kapott toroid külső lapjai a kétféle forgási szimmetria miatt mind egybevágóak lesznek. Vegyük észre, hogy ebben a helyzetben a hasáb oldallapjai sorra párhuzamosak a kocka egy-egy átlósíkjával.
Az így átfúrt kocka képét a 2. ábra mutatja.
 
 
2. ábra
 

 
 
3. ábra
 

A 3. ábrán a keletkezett test kétféle lapját valódi méretben látjuk. A lapok jellemzői az eddig mondottak közvetlen folyományaként állapíthatók meg. a-val a kocka élhosszát, b-vel a hasáb keresztmetszetének oldalhosszát jelöljük. x azt jelöli, hogy a fúrás által az érintett kockaélekből mekkora darabot távolítottunk el. (Az ábra nem bizonyít.)
A kockát kifúró hasáb-palást keresztmetszetének méretét egy korlát alatt szabadon választhatjuk meg: 2x-nek kisebbnek kell lennie a-nál. Tekintve, hogy b=x6 (és nyilván b>0), ezért 0<b<a62 kell teljesüljön.