Kezdőlap


Feladat:	F.2432	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1984/február, 62 - 64. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Háromszögek hasonlósága, Numerikus és grafikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/szeptember: F.2432

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. A támaszkodást természetesen úgy értjük, hogy a létra mindkét hosszanti párhuzamos gerendája támaszkodik a talajhoz, a kerítéshez és a falhoz. Így a gerendák merőlegesen állnak a fal tövére, a vízszintes síknak tekintett talaj és a falsík metszésvonalára; a feladat egyszerűsödik, meggondolásunkat az egyik gerendán (rúdon) átmenő függőleges síkban végezhetjük.

Legyenek a rúd támaszkodási pontjai sorra

T

K

és

F

, az utóbbi kettő vetülete a talajon

K'

és

F'

. Nem felejtve a feladat gyakorlatias hátterét, a

T K' = x

szakaszt tekintjük ismeretlennek, ez adja meg a létra első letámasztási pontját. Így

T F' = x + f

F F' = \sqrt[]{h^{2} - {(x + f)}^{2}}

és a

T K K'

és

T F F'

háromszögek hasonlósága alapján

\begin{matrix} \frac{T K'}{K K'} = \frac{T F'}{F F'}, \frac{x}{m} = \frac{x + f}{\sqrt[]{h^{2} - {(x + f)}^{2}}} . \end{matrix}

Innen a szokásos rendezéssel negyedfokú egyenletre jutunk:

\begin{matrix} x^{4} + 2 f x^{3} - (h^{2} - f^{2} - m^{2}) x^{2} + 2 f m^{2} x + f^{2} m^{2} = 0. \end{matrix}

2. Negyedfokú egyenletet középiskolai ismeretek alapján csak speciális esetekben tudunk megoldani. Ilyen eset adódik az

f = m

egyenlőség alapján, mint a példaként megadott méretek mellett. Ekkor az egyenlet így egyszerűsödik:

\begin{matrix} x^{4} + 2 m x^{3} - (h^{2} - 2 m^{2}) x^{2} + 2 m^{3} x + m^{4} = 0. \end{matrix}

(1)

A negyedfokú egyenletek megoldására ismert eljárások közül több is a ,,két négyzet különbségévé'' való alakításon múlik. A bal oldalt most átalakíthatjuk

x

két polinomja négyzetének különbségévé, majd szorzattá:

\begin{matrix} {(x^{2} + m x + m^{2})}^{2} - (h^{2} + m^{2}) x^{2} = 0, \\ (x^{2} + m x + m^{2} - \sqrt[]{h^{2} + m^{2}} \cdot x) (x^{2} + m x + m^{2} + \sqrt[]{h^{2} + m^{2}} \cdot x) = 0. \end{matrix}

Mivel konkrét feladatunkban

x

-re pozitív értéket várunk, számunkra csak az első tényező eltűnése adhat megoldást:

\begin{matrix} x^{2} - (\sqrt[]{h^{2} + m^{2}} - m) x + m^{2} = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (\sqrt[]{h^{2} + m^{2}} - m \pm \sqrt[]{h^{2} - 2 m \sqrt[]{h^{2} + m^{2}} - 2 m^{2}}) . \end{matrix}

A számadatokat behelyettesítve

\begin{matrix} x = \frac{5}{2} (\sqrt[]{10} - 1 \pm \sqrt[]{7 - 2 \sqrt[]{10}}), \end{matrix}

x_{1} = 7, 460 ...

x_{2} = 3, 351 ...

A létra alsó végét tehát kétféleképpen is letámaszthatjuk,

K'

-től

7, 46

méterre és

3, 35

méterre, és ezek megfelelnek a cm-re való pontosság követelményének. A két megoldás természetesen szimmetrikus az

F' K

szögfelezőre. Végül is a fal alsó élvonalától

12, 46

, illetve

8, 35

méterre támaszkodik a létra két vége. Könnyű meggyőződni róla, hogy ezek az eredmények megfelelnek a gyakorlati kérdésnek.

3. Ha nem vesszük észre a redukálási lehetőséget, akkor az alakzat kicsinyített modelljén (pl. 1:100) próbálgatás útján keresünk közelítő megoldást, könnyen beállíthatjuk a rudat, és

x

-re a

7, 5

és

3, 3

közelítő értékeket kapjuk. Ezeket azután megfelelően finomíthatjuk. Számadatainkkal

\begin{matrix} f (x) = x^{4} + 10 x^{3} - 17 x^{2} + 250 x + 625 = 0, \end{matrix}

ebből az Iskolai Függvénytáblázatok 522. jelzőszámú műveleti sémája szerint számolunk:

\begin{matrix} f (x) & = {[(x + 10) x - 175] x + 250} x + 625, \\ f (7, 5) & = + 39, 06 ..., f (3, 3) = + 22, 21 ..., \\ f (7, 4) & = - 57, 10 ..., f (3, 4) = - 21, 3 ... . \end{matrix}

Ezek alapján grafikonra támaszkodó becsléssel ‐ a gyököket

7, 46

és

3, 35

körül várjuk, hiszen

f (x)

mindenütt folytonos, tehát a pozitív és negatív értékek között a 0-t is fölveszi az

x = 7, 5

és

x = 7, 4

helyek között. A kerekítés helyességének eldöntése végett 2‐2 további helyettesítést végzünk:

\begin{matrix} f (7, 455) = - 5, 1 ... < 0, f (3, 345) = + 2, 6 ... > 0, \\ f (7, 465) = + 4, 5 ... > 0, f (3, 355) = - 1, 7 ... < 0. \end{matrix}

A keresett 0 helyek cm-re,

0, 01

méterre kerekített értéke tehát

7, 46

, illetve

3, 35

, mint a föntebbi számításban.

Megjegyzés. Ha a

T F'

szakaszt választjuk ismeretlennek, az (1) helyén adódó negyedfokú egyenlet

x

-et nem tartalmazó tagja negatív lesz:

- f^{2} m^{2}

, ill.

- m^{4}

. Valamivel bonyolultabban bár, de ekkor is sikerül a szorzatra való felbontás.