A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a háromszög csúcsait , , betűvel, az -tól felé haladva átlépett osztópontokat sorra -gyel, és -től -ig, majd tovább -ig hasonlóan , -gyel. Az , , összekötő szakaszok a háromszög szimmetriatengelyei, közös pontjuk a háromszög középpontja.
A tengelyeken levő minden metszésponton hasonlóan másik összekötés megy át, pl. és közös pontján is , hiszen és nyilván tükrös pontpár az tengelyre nézve. Ezek a metszéspontok tehát akkor is létrejönnének, ha az , , tengelyeket nem rajzolnánk be vagy pedig ha töröljük őket. Valóban, az -hoz tartozó összekötéseket tovább ott nem levőknek tekintjük, csak címén majd -et hozzáadunk a megállapítandó létszámhoz. Így a háromszög mindegyik csúcsából összekötés indul ki ‐ nevezzük ezeket röviden ferdéknek ‐ , és mindegyik metszi a további csúcsokból induló ferde összekötést, mert pl. a szakasz elválasztja -t minden -től és -t minden -től. E pillanatban tehát metszéspontra gondolunk, hacsak nincs olyan pont, amelyen három ferde megy át. Megmutatjuk, hogy nincs további hármas metszéspont. Jelöljük és metszéspontját -vel ‐ ami belső pontja a háromszögnek ‐ , az egyenesnek a oldalszakaszon levő pontját -val, ekkor állításunk szerint nem tartozik az osztópontok közé. Természetesen és , sőt , különben következnék be. Tekintsük a és háromszögek területének arányát. Közös alapjuk , tehát az arányt megadja az erre merőleges magasságok aránya, ezt pedig az és , oldalaik aránya. Hosszúságegységnek -et választva | |
Ugyanígy | | és e kettő szorzatából, egyszerűsítés útján | |
A bal oldalt önállóan is kifejezhetjük az előbbiek mintájára: ugyanis a második arányban szereplő háromszögek rendre úgy jöttek létre az elsőben szereplőkből, hogy a közös alapot arányban növeltük, a harmadik csúcsokat pedig változatlanul hagytuk, tehát a magasságok nem változtak meg. Ezek alapján másképpen
ahol , amelyre és nyilván . Azt akarjuk belátni, hogy nem egész szám. Föltesszük, hogy mégis egész, és belátjuk, hogy így (2) nem teljesülhet. Mindenesetre az előbbiekhez hasonlóan ‐ különben a tükörképe volna -ra, vagyis a kizárt esettel állnánk szemben ‐, hasonlóan , és megfordítva és . Ezek szerint (2) bal oldalán hat különböző egész szám szerepel az -től -ig terjedők közül, kihagyva a -ost. A jobb oldalon álló értékhez egyszerűsítés útján kellene eljutnunk. Nem léphet föl ugyanis a hat különböző szám között a és a , mert prímek, így csak akkor egyszerűsíthetnénk, ha a számlálóban és a nevezőben szerepelnének. Így nem léphet föl a -re kiegészítőjük, az és az sem. A maradó hat számból két egyenlő szorzatot kellene képeznünk, tehát a számláló és a nevező szorzatának négyzetszámnak kellene lennie. Ámde a hat szám szorzata nem négyzetszám, az -ös prímtényező csak a -ben lép fel. Ezzel bebizonyítottuk állításunkat, nem egész szám, nincs közte az , osztópontoknak. Nem keletkezik további hármas metszéspont az összekötések által, végül a metszéspontok létszáma .
Megjegyzések. 1. A közben talált (1) összefüggés levezetésében még nem használtuk fel, hogy , egészek, ezért általános érvényű összefüggés a hat szakasz között, amelyet a háromszögbeli -n átmenő , és összekötések (transzverzálisok = átmenők) között Ceva-féle tétel néven sokan ismernek, jelzőszám alatt az Iskolai Függvénytáblázatok függelékében is megtalálható. Azért vezettük le mégis, mert az iskolai tananyagban nem szerepel, mert gyakorlati alkalmazására nem lenne idő. A tétel akkor is érvényes, ha kívül van a háromszögön, és értéke , ha az , , , , , , körüljárásban a visszafelé való mozgások szakaszait negatívnak vesszük. 2. Ha 12 helyett 15 egyenlő részre osztjuk az oldalakat, egyrészt elmaradnak a tengelybeli hármas metszéspontok, másrészt mégis kapunk ilyeneket: jelölési elvünket tovább fejlesztve , és egy ponton mennek át, mert Be lehet ugyanis bizonyítani a Ceva-tétel megfordítottját is. A részben egyszerűsített alakból látható, hogy a hármas metszés a előállítás következménye. 3. Ha valaki a transzverzális lehető pontos megrajzolása útján próbál tájékozódni, az , és összeköttetésekből elég kis háromszöget kap, kételkedhet is, hogy nem hibás-e a rajza. Az F. 1437. feladatban (KöMaL. 33. kötet, 206. oldal, 1966) kiszámítottuk, hogy a kis háromszög területe az területének -ad része, vagyis lineárisan mintegy -szeresen kisebb háromszöget zár körül a három összekötés (nem szabályos háromszög). |