Kezdőlap


Feladat:	F.2429	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1984/március, 108 - 109. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számkörök, Prímtényezős felbontás, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/szeptember: F.2429

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Bontsuk fel az összes lehetséges módon pozitív egész számok összegére a 65-öt. Mindegyik esetben szorozzuk össze az összeadandókat, majd a szorzatuk közül válasszuk ki a legnagyobb, 100-zal oszthatót (vagy az egyik legnagyobbat, ha ugyanaz többször is előfordulna). Tegyük fel, hogy ezt a maximumot az

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} + ... + x_{n} = 65 \end{matrix}

felbontásból kaptuk. Mivel

2 + 2 = 2 \cdot 2 = 4

, azért a felbontásból minden négyest két darab kettesre kicserélhetünk anélkül, hogy az összeg és a szorzat változna ‐ így azt is feltehetjük, hogy itt a

4

nem fordul elő. Az

{x_{i}}

számok között nem szerepelhet 14-nél nagyobb. Valóban, ha például

x_{n} > 14

volna,

x_{n}

-et helyettesítsük a

2

2

5

5

(x_{n} - 14)

számokkal. Az összeg nem változott, míg a szorzat

\begin{matrix} x_{n} < 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 (x_{n} - 14) \end{matrix}

miatt nőtt, és továbbra is osztható 100-zal. Ez pedig lehetetlen, hiszen feltettük, hogy az

x_{1}, ..., x_{n}

felbontás adja a legnagyobb szorzatot.
Az

{x_{i}}

számok között nem szerepelhet a

10

sem. Ezt az előzőhöz hasonlóan láthatjuk be: ha a

10

mégis ott volna, azt a

2

3

és

5

számokkal helyettesítve az összeg változatlan, a szorzat pedig háromszorosára nő ‐ ami lehetetlen.
Az

x_{1} x_{2} ... x_{n}

osztható 100-zal, az

{x_{i}}

számok között nincs

10

és nincs

14

-nél nagyobb. Kell tehát közöttük lennie két ötösnek, mondjuk

x_{1} = x_{2} = 5

. A megmaradt számok között viszont nem lehet

4

-nél nagyobb: ha

x_{n} > 4

volna,

x_{n}

-et

2

-vel és

(x_{n} - 2)

-vel helyettesítve az

\begin{matrix} 5 \cdot 5 \cdot x_{3} ... x_{n - 1} \cdot 2 (x_{n} - 2) \end{matrix}

szorzat továbbra is osztható 100-zal, viszont nagyobb mint az

{x_{i}}

számok szorzata. Feltételünk szerint a felbontásban a

4

sem fordul elő, így csak az

1

2

, és

3

jöhet szóba.
A kettesből legalább kettő van, ami a 100-zal való oszthatóságot biztosítja, de öt vagy annál több nem lehet, mert három darab kettest két hármassal helyettesítve a szorzat nő:

\begin{matrix} 2 + 2 + 2 = 3 + 3 és 2 \cdot 2 \cdot 2 < 3 \cdot 3. \end{matrix}

Egyesből is legfeljebb egy lehet, és

\begin{matrix} 5 + 5 + 2 + 2 + 2 + 2 + 1 = 19 < 65 \end{matrix}

miatt a felbontásban 3 is szerepel. De ekkor egy hármast és az egyest két kettesre cserélve a szorzat megint nőne, következésképp az

{x_{i}}

között egyes nincs.
Összefoglalva, az

x_{3}

x_{4}, ..., x_{n}

számok között legalább kettő, de legfeljebb négy darab kettes van, a többi hármas, és

\begin{matrix} 5 + 5 + x_{3} + ... + x_{n} = 65. \end{matrix}

Ez csak úgy lehet, hogy a felbontásban két kettes és 17 hármas van, és ekkor a szorzat, ami egyúttal a maximumot is megadja:

\begin{matrix} 5^{2} \cdot 2^{2} \cdot 3^{17} = 12 914 016 300. \end{matrix}

Meggondolásainkból az is kiderült, hogy a maximumot a következő két felbontás adja:

\begin{matrix} 5 + 5 + 2 + 2 + {\underset{︸}{3 + 3 + ... + 3}}_{17 - szer}^{} \end{matrix}

\begin{matrix} 5 + 5 + 4 + {\underset{︸}{3 + 3 + ... + 3.}}_{17 - szer}^{} \end{matrix}