Feladat: F.2426 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Alexy N. ,  Badics T. ,  Böröczky L. ,  Csonka L. ,  Erdős 228 L. ,  Gulyás Éva ,  Horváth 713 Z. ,  Horváth Zoltán ,  Hraskó A. ,  Ilosvay F. ,  Kerner Anna ,  Kós G. ,  Kovalcsik I. ,  Kruzslicz F. ,  Ladányi L. ,  Megyesi G. ,  Melis Z. ,  Petrovics Györgyi ,  Prokaj V. ,  Ribényi Á. ,  S. Fülöp T. ,  Szabó 112 T. ,  Szakács P. ,  Szederkényi Edit ,  Szeier T. ,  Törőcsik J. ,  Vindics I. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/december, 203 - 204. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/május: F.2426

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha M a BC oldal B vagy C végpontjába esik, akkor N a C, ill. D ponttal azonos, az MN egyenes pedig nem más, mint a BC, ill. a CD oldalegyenes. Ezekben az esetekben szükségtelen merőlegest szerkesztenünk az MN egyenesre, hiszen a négyzet szomszédos oldalai merőlegesek egymásra.
Legyen mármost M a BC oldal belső pontja. Ekkor az N is belső pontja a CD oldalnak, hiszen MAC∢<45∘<MAD∢. Az AM,AN szakaszok metszéspontját a BD átlóval jelölje P, ill. Q.

 
 

Az MQ szakasz az MQ egyenes ugyanazon partján levő A és B pontokból egyaránt 45∘-os szög alatt látszik, ezért az ABMQ konvex négyszög húrnégyszög. Mivel ebben a B-nél levő szög derékszög, a vele szemben fekvő szöge is derékszög, vagyis MQ⊥AN. Hasonló módon látható be, hogy NP⊥AM.
Az MQ és NP egyenesek R metszéspontja az AMN háromszög magasságpontja, ezért az AR egyenes merőleges az MN egyenesre. (Az R pont mindig létezik és A-tól különböző, mivel AMN valódi háromszög és MAN∢≠90∘). R megszerkeszthető egyetlen egyenes vonalzó használatával. Ezzel a feladatot megoldottuk.
 

 Horváth 713 Zoltán (Győr, Révai M.Gimn., IV. o. t.)