Feladat: F.2417 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Csillag P. ,  Erdős L. ,  Hetyei G. ,  Hraskó A. ,  Katona Gy. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Réz A. ,  Szabó Cs. ,  Törőcsik J. 
Füzet: 1983/november, 128. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Polinomok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/április: F.2417

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy minden pozitív egész n-re léteznek megfelelő f és g polinomok. Képezzük az összes

(-1)a1x1+...+(-1)anxn
alakú elsőfokú n változós polinomot, ahol ai∈{1,2}, i=1,...,n. Legyen h(x1,...,xn) az összes ilyen n változós polinom szorzata. Mivel (x1+x2+...+xn) szerepel h(x1,...,xn) előállításában tényezőként, azért
f(x1,...,xn)=h(x1,...,xn)(x1,+...+xn)
is n változós polinom. Állítjuk, h(x1,...,xn)-ben minden változónak csak páros kitevőjű hatványa szerepel. Tekintsük például az x1 változót. Egy (x1+(-1)a2x2+...+(-1)anxn) tényezővel együtt az (-x1+(-1)a2x2+...+(-1)anxn) tényező is szerepel h(x1,...,xn) előállításában, ezért h(x1,...,xn) éppen az összes
[(-1)a2x2+...+(-1)anxn]2-x12
alakú másodfokú polinom szorzata, ahol ai∈{1,2}, i=2,...,n. Tehát h(x1,...,xn)-ben x1 csak páros kitevőn szerepel. Hasonlóan igazolható, hogy minden i≤n-re xi-nek csak páros kitevőjű hatványai fordulnak elő. Ezért van olyan g(x1,...,xn) polinom, melyre g(x12,...,xn2)=h(x1,...,xn); és ekkor
(x1+...+xn)⋅f(x1,...,xn)=g(x12,...,xn2).