Feladat:	F.2410	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/november, 123. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/március: F.2410

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle x+y+z}& {\displaystyle =5}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle x^2+y^2+z^2}& {\displaystyle =9}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle xy+u+vx+vy}& {\displaystyle =0}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle yz+u+vy+vz}& {\displaystyle =0}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle zx+u+vz+vx}& {\displaystyle =0.}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\end{array}}$ Megoldás. Vonjuk ki (3)-ból a (4)-et, ill. (5)-öt. Rendezés után az $\left(y+v\right)\left(x-z\right)=0$, illetve az $\left(x+v\right)\left(y-z\right)=0$ összefüggéseket kapjuk. Ezekből arra következtethetünk, hogy $x$, $y$, $z$ közül legalább kettő egyenlő. Ha ugyanis $x\ne z$, és $y\ne z$ volna, akkor utóbbi két egyenletünkből $y+v=0$, illetve $x+v=0$ adódik, s így $x=y=-v$.   Legyen például $x=y$. Ekkor (1) és (2)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle 2x+z=\mathrm{5,}2x^2+z^2=9.}\end{array}$ Ezt megoldva, az $x_1=y_1=2$, $z_1=1$ és az $x_2=y_2=4/3$, $z_2=7/3$ megoldásokat kapjuk. Az $\left(y+v\right)\left(x-z\right)=0$ összefüggésből $v_1=-2$, $v_2=-4/3$, végül $u$ értéke például (3)-ból könnyen számolható: $u_1=4$, $u_2=16/9$. Természetesen $x=y$ helyett $x=z$ vagy $y=z$ is lehetséges, amiből négy további megoldás adódik.   Összefoglalva, az egyenletrendszernek hat megoldása van: ${\displaystyle \begin{array}{cccccccccc}\hfill {\displaystyle x_1}& {\displaystyle =2}\hfill & {\displaystyle y_1}\hfill & \hfill {\displaystyle =2}& {\displaystyle z_1}\hfill & {\displaystyle =1}\hfill & \hfill {\displaystyle u_1}& {\displaystyle =4}\hfill & {\displaystyle v_1}\hfill & \hfill {\displaystyle =-2}\\ \hfill {\displaystyle x_2}& {\displaystyle =4/3}\hfill & {\displaystyle y_2}\hfill & \hfill {\displaystyle =4/3}& {\displaystyle z_2}\hfill & {\displaystyle =7/3}\hfill & \hfill {\displaystyle u_2}& {\displaystyle =16/9}\hfill & {\displaystyle v_2}\hfill & \hfill {\displaystyle =-4/3}\\ \hfill {\displaystyle x_3}& {\displaystyle =2}\hfill & {\displaystyle y_3}\hfill & \hfill {\displaystyle =1}& {\displaystyle z_3}\hfill & {\displaystyle =2}\hfill & \hfill {\displaystyle u_3}& {\displaystyle =4}\hfill & {\displaystyle v_3}\hfill & \hfill {\displaystyle =-2}\\ \hfill {\displaystyle x_4}& {\displaystyle =4/3}\hfill & {\displaystyle y_4}\hfill & \hfill {\displaystyle =7/3}& {\displaystyle z_4}\hfill & {\displaystyle =4/3}\hfill & \hfill {\displaystyle u_4}& {\displaystyle =16/9}\hfill & {\displaystyle v_4}\hfill & \hfill {\displaystyle =-4/3}\\ \hfill {\displaystyle x_5}& {\displaystyle =1}\hfill & {\displaystyle y_5}\hfill & \hfill {\displaystyle =2}& {\displaystyle z_5}\hfill & {\displaystyle =2}\hfill & \hfill {\displaystyle u_5}& {\displaystyle =4}\hfill & {\displaystyle v_5}\hfill & \hfill {\displaystyle =-2}\\ \hfill {\displaystyle x_6}& {\displaystyle =7/3}\hfill & {\displaystyle y_6}\hfill & \hfill {\displaystyle =4/3}& {\displaystyle z_6}\hfill & {\displaystyle =4/3}\hfill & \hfill {\displaystyle u_6}& {\displaystyle =16/9}\hfill & {\displaystyle v_6}\hfill & \hfill {\displaystyle =-4/3}\end{array}}$