Kezdőlap


Feladat:	F.2404	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/október, 56. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/február: F.2404

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A "legdurvább'' módszer az, hogy rendre vesszük a prímszámok négyzetének többszöröseit, és ezek között keresünk négy egymás melletti számot. Szerencsére a legkisebb ilyen megoldás elég kicsi:

\begin{matrix} 242 = 11^{2} \cdot 2, 243 = 3^{2} \cdot 27, 244 = 2^{2} \cdot 61, 245 = 7^{2} \cdot 5, \end{matrix}

így az eljárás viszonylag hamar véget ér.

Kevesebb próbálgatást igényel az alábbi módszer. A 24-re végződő számok oszthatók

2^{2}

-nel, a 25-re végződőek pedig

5^{2}

-nel. Így ha a számnégyest

\begin{matrix} 900 k + 24, 900 k + 25, 900 k + 26, 900 k + 27 \end{matrix}

alakban keressük, akkor a számnégyes első tagja 4-gyel, második tagja 25-tel, utolsó tagja pedig 9-cel osztható.

k

értékét úgy szeretnénk megválasztani, hogy a harmadik tag,

900 k + 26

, osztható legyen 49-cel. Ám

900 k + 26 = 18 k \cdot 49 + 18 k + 26

pontosan akkor osztható 49-cel, ha

49 | 18 k + 26

, ez utóbbi viszont pl.

k = 4

esetén teljesül. Ebből a

\begin{matrix} 3624 = 2^{2} \cdot 906, 3625 = 5^{2} \cdot 145, 3626 = 7^{2} \cdot 74, 3627 = 3^{2} \cdot 403 \end{matrix}

számnégyest kapjuk.

Megjegyzés. Igaz az is, hogy tetszőleges

n

-re van

n

db egymás utáni egész szám úgy, hogy mindegyiküknek van egynél nagyobb négyzetszám osztója. Ez következménye az alábbi, ún. kínai maradéktételnek: legyenek

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

páronként relatív prímek,

b_{1}, b_{2}, ..., b_{n}

tetszőleges egészek. Ekkor van olyan

x

egész szám, hogy minden 1 és

n

közti

k

-ra

x + b_{k}

osztható

a_{k}

-val. A tételből állításunk a következő szereposztással adódik: legyen

a_{k}

k

-adik prímszám négyzete,

b_{k} = k

. Ekkor

x + 1, x + 2, ..., x + n

a kívánt szám

n

-es.