|
Feladat: |
F.2401 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Alexy N. , Böröczky L. , Danyi P. , Erdős 228 L. , Fóris Z. , Megyesi G. , Nyikes P. , Pásztor L. , Reichardt J. , Réz A. , Szemők Á. , Takács T. , Tóth G. , Törőcsik J. |
Füzet: |
1983/november,
119 - 120. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1983/január: F.2401 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyenek az háromszög oldalai rendre , és , ekkor az és háromszögek hasonlósága alapján valamilyen pozitív -val. Az és oldalak nagyságviszonyát dönti el: ha , akkor az oldal a nagyobb; ha , akkor ; végül ha , akkor a oldal a nagyobb. Így ahhoz, hogy a kérdésre választ adhassunk, elegendő megvizsgálni, milyen értékei egyeztethetők össze a feltétellel.
Jelöljük a szöget -vel, ekkor a cosinustétel alapján
Innen akkor és csak akkor áll, ha (mindjárt átrendezve és az addíciós képleteket felhasználva)
A jobb oldalon az háromszögre vonatkozó sinustétel alapján 0 áll. A cosinustételből könnyen adódó összefüggést (1)-be írva adódik, hogy akkor és csak akkor áll fenn, ha | | (2) |
Innen azonnal leolvasható, hogy az esetben ‐ azaz ha az , és ezzel együtt a háromszög is szabályos ‐ (2) azonosan teljesül, vagyis a egyenlőség minden , és mellett fennáll. Így általában az és oldalak nagyságviszonyáról ‐ egyedül a alapján ‐ semmit sem mondhatunk. Ha , azaz olyan egyenlő szárú nem‐szabályos háromszög, melynek alapja , akkor (2) szerint akkor és csak akkor, ha . Ha tehát ilyen háromszög, akkor esetén az és oldal egyforma hosszúságú. Végül ha , akkor (2)-t a következő alakra hozhatjuk: | | (3) | Ez teljesül, ha és , ekkor (3) mindkét oldalának értéke 1. Mivel (3) jobb oldala -ra -nak folytonos függvénye, található olyan (-tól, -től és -től függő) , hogy esetén (3) jobb oldalának értéke a (, ) intervallumba esik. Következésképp minden, az (, ) intervallumba eső -hoz található olyan , mellyel (3) teljesül, azaz amikor fennáll. Tehát mellett a , és a esetek mindegyike felléphet: az és oldalak nagyságviszonyáról semmit nem mondhatunk. Összefoglalva: ha az háromszögben , akkor csak úgy állhat fenn, ha az és oldalak egyenlő hosszúak. Minden más esetben fennállhat úgy is, ha , úgy is, ha , és úgy is, ha .
|
|