Feladat:	F.2399	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/november, 117 - 118. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Klasszikus valószínűség, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1983/január: F.2399

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   $A$-ból kiindulva, sorban kiszámítjuk az egyes utcákon és útkereszteződéseken való áthaladás valószínűségét (lásd az ábrát). A térkép kitöltését a következő szabályok betartásával végezzük:   ‐ A tanuló 1 valószínűséggel érinti $A$-t. ‐ Ha egy útkereszteződésen $p$ valószínűséggel halad át, és innen északra és keletre is továbbmehet, a kereszteződésből északra és keletre induló utcákon való áthaladás valószínűsége $p/2$. ‐ Ha egy kereszteződésen $p$ valószínűséggel halad át, és innen csak egy irányban mehet tovább, akkor ezen az utcán való áthaladás valószínűsége is $p$. ‐ Egy útkereszteződésen való áthaladás valószínűségét a hozzá nyugatról és délről betorkolló utcákon való áthaladás valószínűségeinek összege adja. Az ábráról leolvasható, hogy a $C$ kereszteződést $21/32$ valószínűséggel érinti a tanuló. Egy ellenőrzésre ad módot, hogy $B$-be 1 valószínűséggel érkezik a tanuló, és a szaggatott vonalak mentén a valószínűségek összege 1, hiszen minden útvonal az egy vonalon fekvő útkereszteződések közül pontosan egyet érint.   Megjegyzés. Nem helyes a következő meggondolás: a tanuló útját egy 7 betűs jelsorozattal írhatjuk le, melyben három $K$ és négy $É$ betű van, aszerint, hogy a tanuló az egyes útkereszteződésekben északra vagy keletre indul el. Összesen $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3}\right)=35$ ilyen jelsorozat van. Azok az utak vezetnek át $C$-n, ahol a három $K$ betű már az első hat jel között szerepel. Ilyen jelsorozatból $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ db van, így a keresett valószínűség 20/35. A meggondolás azért hibás, mert a jelsorozatok valószínűsége nem egyforma. Például a $KKKÉÉÉÉ$ út valószínűsége 1/8, hiszen az első három helyen 1/2 valószínűséggel választotta a keleti irányt, utána viszont köteles mindig észak felé menni. Ezzel szemben az $ÉKÉKÉKÉ$ út valószínűsége 1/64, mert itt az első hat alkalommal még két lehetőség közül választhatott, és csak az utolsó útszakaszon egyértelmű a haladási irány. A "valószínűség=kedvező esetek száma osztva az összes esetek számával'' képlet csak akkor alkalmazható, ha a szóban forgó esetek egyenlően valószínűek.