Kezdőlap


Feladat:	F.2391	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ilosvay Ferenc
Füzet:	1983/május, 204 - 206. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Beírt gömb, Tetraéderek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/november: F.2391

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje $Y$ az $A C, Z$ a $B D$ él felezőpontját.

1. ábra

A tetraéder szimmetrikus a

B D Y = S_{1}

síkra, hiszen az

A B C

egyenlő szárú háromszögben

B Y

, az

A D C

egyenlő szárú háromszögben pedig

D Y

merőlegesen felezi az

A C

alapot, tehát a

B D Y

sík az

A C

élt merőlegesen felezi. Így az

A C B

és

A C D

lapsíkok merőlegesek

S_{1}

-re. Hasonlóan az

A C Z = S_{2}

síkra is szimmetrikus a tetraéder, tehát a

B D A, B D C

lapsíkok merőlegesek

S_{2}

-re (1. ábra).
Mivel minden tetraéderbe egy és csak egy gömb írható, a beírt gömb

O

középpontjának mindkét szimmetriasíkra illeszkednie kell, ugyanis e síkokra való tükrözéssel a gömbnek ugyanúgy önmagába kell átmennie, mint a tetraédernek. A két szimmetriasík metszésvonala az

Y Z

egyenes. Tekintve, hogy

O

csak a tetraéder belsejében lehet, ezért

O

rajta van az

Y Z

szakaszon.

2. ábra

Legyen a beírt gömb sugara

ϱ

. Tekintsük az

A C Z

és

B D Y

síkmetszeteket. A gömbből így kimetszett főkör érinti az

A C Z

egyenlő szárú háromszög

Z A, Z C

szárait, a másik metszetben

Y B

-t és

Y D

-t (2. ábra). A hasonló derékszögű háromszögek alapján

\begin{matrix} ϱ : \frac{y}{2} = O Z : A Z és ϱ : \frac{z}{2} = O Y : B Y . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} \frac{O Y}{O Z} = \frac{y \cdot B Y}{z \cdot A Z} . \end{matrix}

Másrészt

O Y + O Z = Y Z

, és így

\begin{matrix} O Y = \frac{y \cdot B Y}{y \cdot B Y + z \cdot A Z} \cdot Y Z, & (1) \\ O Z = \frac{z \cdot A Z}{y \cdot B Y + z \cdot A Z} \cdot Y Z . \end{matrix}

Az itt szereplő szakaszokat Pitagorasz tétele szerint kiszámíthatjuk:

\begin{matrix} B Y = & \sqrt[]{x^{2} - {(\frac{y}{2})}^{2}}, A Z = \sqrt[]{x^{2} - {(\frac{z}{2})}^{2}}, \\ Y Z = & \sqrt[]{B Y^{2} - {(\frac{z}{2})}^{2}} = \sqrt[]{x^{2} - {(\frac{y}{2})}^{2} - {(\frac{z}{2})}^{2}}, \end{matrix}

és ezzel a kívánt

O Y, O Z

távolságokat kifejeztük az adott élhosszúságokkal.
A tetraéder lapjai létezésének szükséges feltételei

2 x > y

és

2 x > z

, de ezek teljesülése még nem elegendő. A egyenlőtlenségnek az

A C Z

és a

B D Y

metszetháromszögek oldalaira is fenn kell állnia, azaz

y < 2 \sqrt[]{x^{2} - {(\frac{z}{2})}^{2}}

és

z < 2 \sqrt[]{x^{2} - {(\frac{y}{2})}^{2}}

is szükséges. Mindkét utóbbi egyenlőtlenség szerint

4 x^{2} > y^{2} + z^{2}

, ez magában foglalja az előbbi feltételeket is, teljesülése már elégséges feltétele az

A B C D

tetraéder létezésének.

L. L.
Ilosvay Ferenc (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Az (1) kifejezések közös nevezőjének első tagja az

A C B

lap területének 2-szerese, vagyis a speciális helyzet folytán az

A C B

és

A C D

lapok területének összege. A nevező második tagját hasonlóan értelmezve, a teljes nevező a tetraéder

F

felszínét jelenti.

Továbbmenve, kifejezhetjük a beírt gömb sugarát is az adatokkal:

\begin{matrix} ϱ = \frac{y \cdot O Z}{2 A Z} = \frac{y}{2} \cdot Y Z \cdot \frac{z}{6} \cdot 2 \cdot \frac{3}{F} = \frac{3 V}{F} . \end{matrix}

Felismertük a behelyettesítés után az

A C Z

metszet területét, majd az

A C Z D

tetraéder térfogatát, ami pedig fele az eredeti tetraéder

V

térfogatának. Végül egy ismert összefüggésre jutottunk.
B. T.