A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az adott egyenesek egy paralelogrammát határoznak meg, megrajzolva ennek és átlóit, metszéspontjuk mindegyiket felezi. Ezzel lehetőségünk nyílt arra, hogy ‐ az alábbi tétel és egyik megfordítása alapján ‐ a kérdéses k körben szerkeszthessünk két, az -vel párhuzamos és egymástól különböző hosszúságú húrt, továbbá ezekből közös felező merőlegesüket, ami a körnek az -re merőleges szimmetriatengelye, tehát tartalmazza -nak középpontját. Ugyanezzel az eljárással kapjuk a kör -re merőleges átmérőjének egyenesét, és ez az előbbiből kimetszi -t. A metszéspont egyértelműen létrejön, hiszen az és egyenesek különböző irányúak. A segédtétel így hangzik. Ha a négyszög olyan konvex trapéz, melyben és , a és átlók metszéspontja és a félegyenesek metszéspontja , akkor az egyenes felezi a alapokat. ‐ A tételt a tervbe vett eljárások második ütemében használjuk, a szerkesztendő húrok speciálisan szimmetrikus trapézt határoznak meg, Így az egyenes megfelelője merőlegesen felezi őket, ezért. adja a trapéz szimmetriatengelyét, a mondott átmérőt. A tételnek a következő megfordítását használjuk a húrok egyeneseinek szerkesztésében: ha adott az szakasz az felezőpontjával együtt és a síknak egy, nem az egyenesen fekvő pontja, akkor megválasztva a félegyenesnek egy, az -től különböző tetszőleges pontját (legyen ), továbbá megszerkesztve az és egyenesek , valamint az egyenesek metszéspontját, a egyenes párhuzamos -nel. Ennek alkalmazásában szerepére előbb az , majd a átlót választjuk, szerepére pedig -nak 2‐2 tetszőleges pontját. A leírt eljárást ‐ a , ill. pont szabad választására tekintettel ‐ minden lehetséges helyzetben alkalmazhatjuk. Akkor is, ha a papírlap véges, a síknak konvex tartománya (a feltevés szerint ezen van a kör), de ekkor a párhuzamos egyenespárok alkotta paralelogramma csúcsait is tartalmaznia kell a lapnak, ezek nélkül nincs felezett szakaszunk. Vonalzónkat ‐ szokás szerint ‐ tetszőleges hosszúnak képzeljük. Ha a 2 párhuzamos húr hossza nem adódna lényegesen különbözőnek, s emiatt kiesne a papírlapról, egyik húrt fölcserélhetjük kedvezőbbel. Adódhat -nak olyan kedvező felvétele is, hogy nincs is szükség a paralelogramma csúcsaira, ha ti. a kör mind a 4 adott egyenest metszi és a párhuzamos húrok nem egyenlők.
Megjegyzések. 1. A felhasznált tétel és a megfordítás bizonyításától eltekintettünk. 2. Kellő körültekintés nélkül úgy tűnhet, hogy tételeink alapján nem lehet párhuzamost szerkeszteni adott iránnyal az egyenes pontjain át, speciálisan -n át sem. Vegyük azonban észre, hogy megkapjuk tetszőleges révén a szakasz felezőpontját is, az már nincs -en, és használható MN helyett. Az paralelogramma középpontján átmenő tetszőleges irányú egyenesen is kapunk felezett szakaszt, kettőt is. 3. Többen észrevették, hogy ez a feladat ‐ minimális eltéréssel ‐ egyezik az F. 2288. feladattal, aminek a megoldása a KöMaL 62. kötet 198. oldalán olvasható (1981. májusi szám). |