Feladat: F.2390 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1983/május, 203 - 204. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Paralelogrammák, Síkgeometriai szerkesztések, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/november: F.2390

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az adott egyenesek egy ABCD paralelogrammát határoznak meg, megrajzolva ennek AC és BD átlóit, E metszéspontjuk mindegyiket felezi. Ezzel lehetőségünk nyílt arra, hogy ‐ az alábbi tétel és egyik megfordítása alapján ‐ a kérdéses k körben szerkeszthessünk két, az AC-vel párhuzamos és egymástól különböző hosszúságú húrt, továbbá ezekből közös felező merőlegesüket, ami a körnek az AC-re merőleges szimmetriatengelye, tehát tartalmazza k-nak O középpontját.
Ugyanezzel az eljárással kapjuk a kör BD-re merőleges átmérőjének egyenesét, és ez az előbbiből kimetszi O-t. A metszéspont egyértelműen létrejön, hiszen az AC és BD egyenesek különböző irányúak.
A segédtétel így hangzik. Ha a KLMN négyszög olyan konvex trapéz, melyben MN||KL és MN<KL, a KM és LN átlók metszéspontja R és a KN,LM félegyenesek metszéspontja S, akkor az SR egyenes felezi a KL,MN alapokat. ‐ A tételt a tervbe vett eljárások második ütemében használjuk, a szerkesztendő húrok speciálisan szimmetrikus trapézt határoznak meg, Így az SR egyenes megfelelője merőlegesen felezi őket, ezért. adja a trapéz szimmetriatengelyét, a mondott átmérőt.

A tételnek a következő megfordítását használjuk a húrok egyeneseinek szerkesztésében: ha adott az MN szakasz az E felezőpontjával együtt és a síknak egy, nem az MN egyenesen fekvő K pontja, akkor megválasztva a KN félegyenesnek egy, az N-től különböző tetszőleges S pontját (legyen KS>KN), továbbá megszerkesztve az MK és ES egyenesek R, valamint az NR,SM egyenesek L metszéspontját, a KL egyenes párhuzamos MN-nel.
Ennek alkalmazásában MN szerepére előbb az AC, majd a BD átlót választjuk, K szerepére pedig k-nak 2‐2 tetszőleges pontját.
A leírt eljárást ‐ a K, ill. S pont szabad választására tekintettel ‐ minden lehetséges helyzetben alkalmazhatjuk. Akkor is, ha a papírlap véges, a síknak konvex tartománya (a feltevés szerint ezen van a kör), de ekkor a párhuzamos egyenespárok alkotta paralelogramma csúcsait is tartalmaznia kell a lapnak, ezek nélkül nincs felezett szakaszunk. Vonalzónkat ‐ szokás szerint ‐ tetszőleges hosszúnak képzeljük. Ha a 2 párhuzamos húr hossza nem adódna lényegesen különbözőnek, s emiatt S kiesne a papírlapról, egyik húrt fölcserélhetjük kedvezőbbel.
Adódhat k-nak olyan kedvező felvétele is, hogy nincs is szükség a paralelogramma csúcsaira, ha ti. a kör mind a 4 adott egyenest metszi és a párhuzamos húrok nem egyenlők.
 
Megjegyzések. 1. A felhasznált tétel és a megfordítás bizonyításától eltekintettünk.
2. Kellő körültekintés nélkül úgy tűnhet, hogy tételeink alapján nem lehet párhuzamost szerkeszteni adott iránnyal az MN egyenes pontjain át, speciálisan E-n át sem. Vegyük azonban észre, hogy megkapjuk tetszőleges K révén a KL szakasz felezőpontját is, az már nincs MN-en, és használható MN helyett.
Az ABCD paralelogramma E középpontján átmenő tetszőleges irányú egyenesen is kapunk felezett szakaszt, kettőt is.
3. Többen észrevették, hogy ez a feladat ‐ minimális eltéréssel ‐ egyezik az F. 2288. feladattal, aminek a megoldása a KöMaL 62. kötet 198. oldalán olvasható (1981. májusi szám).