Feladat: F.2389 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Hetyei Gábor 
Füzet: 1983/május, 202 - 203. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Vektorok skaláris szorzata, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/november: F.2389

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kör középpontjából, O-ból az A,B,C,D,X pontokba mutató vektorokat jelöljük rendre a, b, e, d, x-szel.

*

Ezek segítségével a feltétel
(x-a)2+(x-b)2=(x-c)2+(x-d)2.(1)

Itt a2 = b2 = c2 = d2, mivel mindegyik vektor hossza a kör sugarával egyenlő. Ezt fel használva (1) a következő alakra hozható:
(a+b-c-d)x = 0.(2)
Az AB és CD húrok felezőpontját rendre E-vel és F-fel jelölve OE→ = (a +b)/2,OF→ = (c +d)/2. Tehát (2) szerint ezek különbségének, a két felezőpontot összekötő EF→ vektornak és a középpontból a keresett X-be mutató OX→ vektornak a skaláris szorzata O. Ez kétféleképpen lehetséges.
 

1.eset. EF→≠0. Ekkor (2) szerint EF→ és OX→ merőlegesek. Ez a tény ad lehetőséget a szerkesztésre: a feltételnek megfelelő két X pontot az O-ból a felezőpontokat összekötő szakaszra bocsátott merőleges metszi ki.
 

2.eset. EF→=0. Ekkor E és F egybeesik. Mivel a húr felezőpontjának helyzete a húrt egyértelműen meghatározza, ha az nem átmérő, ez csak úgy teljesülhet, ha AB és CD azonosak ‐ amit eleve kizárhatunk ‐, vagy ha mindkettő átmérő. Az utóbbi esetben X a körvonal bármely pontja lehet.
 
 Hetyei Gábor (Pécs, Leöwey K. Gimn., IV. o. t.)
* Az ábra jobb alsó sarkában B helyett helyesen D olvasandó.