Kezdőlap


Feladat:	F.2387	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Megyesi Gábor
Füzet:	1983/május, 202. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Binomiális együtthatók, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/november: F.2387

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Adjunk a kérdéses számhoz ${(15 - \sqrt[]{220})}^{19} + {(15 - \sqrt[]{220})}^{82}$ -t. A binomiális tétel felhasználásával:

\begin{matrix} {(15 + \sqrt[]{220})}^{19} + {(15 + \sqrt[]{220})}^{19} = \sum_{t = 0}^{19} (\binom{19}{i}) {(\sqrt[]{220})}^{l} \cdot 15^{19 - l} + \\ + \sum_{t = 0}^{19} {(- 1)}^{l} (\binom{19}{i}) {(\sqrt[]{220})}^{l} \cdot 15^{19 - l} = 2 \sum_{t = 0}^{19} (\binom{19}{2 i}) 220^{i} \cdot 15^{19 - 2 l}, \end{matrix}

valamint

\begin{matrix} {(15 + \sqrt[]{220})}^{82} + {(15 + \sqrt[]{220})}^{82} = \sum_{t = 0}^{82} (\binom{82}{i}) {(\sqrt[]{220})}^{l} \cdot 15^{82 - i} + \\ + \sum_{i = 0}^{82} {(- 1)}^{l} (\binom{82}{i}) {(\sqrt[]{220})}^{l} \cdot 15^{82 - l} = 2 \sum_{i = 0}^{41} (\binom{82}{2 i}) 220^{i} \cdot 15^{82 - 2 i}, \end{matrix}

Mindkét kifejezés jobb oldalán a szumma jel mögött csupa 5-tel osztható egész szám áll, ezért kétszereseik összege, azaz

\begin{matrix} {(15 + \sqrt[]{220})}^{19} + {(15 + \sqrt[]{220})}^{19} + {(15 + \sqrt[]{220})}^{82} + {(15 + \sqrt[]{220})}^{82} \end{matrix}

10-zel osztható egész szám.
Mivel

0 < 15 - \sqrt[]{220} = (225 - 220) / (15 + \sqrt[]{220} < 5 / 25

, azért

\begin{matrix} 0 < {(15 - \sqrt[]{220})}^{19} + {(15 - \sqrt[]{220})}^{82} < {(\frac{1}{5})}^{19} + {(\frac{1}{5})}^{82} < \frac{2}{5} < 1, \end{matrix}

tehát a kérdéses (pozitív) kifejezés egy 0-ra végződő egész számnál egy 1-nél kisebb pozitív számmal kisebb, így a tizedesvessző előtti számjegye 9-es.

Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)