Kezdőlap


Feladat:	F.2375	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1983/április, 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/szeptember: F.2375

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két esetet különböztetünk meg: a) $n$ páratlan, b) $n$ páros.
a) Írjuk fel $n$ -et $n = 2 k + 1$ alakban! Ekkor

\begin{matrix} 5^{n} - 1 = 5^{2 k + 1} - 1 = 5 \cdot 25^{k} - 1 = 5 (25^{k} - 1) + 4. \end{matrix}

a^{k} - b^{k} = (a - b) (a^{k - 1} + a^{k - 2} b + ... + b^{k - 1})

azonosság alapján

25^{k} - 1

osztható

24

-gyel, és így

8

-cal is, tehát

5^{n} - 1

néggyel osztható, de

8

-cal már nem. Ezért

n ≧ 3

esetén nem lehetséges, hogy

2^{n} ∣ (5^{n} - 1)

.Az egyedül fennmaradó lehetőség

n = 1

, ez valóban megoldás is.
b) Írjuk fel

n

-et

n = 2^{k} m

alakban, ahol

m

páratlan egész. Az

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

azonosság ismételt alkalmazásával kapjuk, hogy

\begin{matrix} 5^{2^{k} m} - 1 = (5^{2^{k - 1} m} + 1) (5^{2^{k - 1} m} - 1) = (5^{2^{k - 1} m} + 1) (5^{2^{k - 2} m} + 1) (5^{2^{k - 2} m} - 1) = ... = \\ = (5^{2^{k - 1} m} + 1) (5^{2^{k - 2} m} + 1) \cdot ... \cdot (5^{4 m} + 1) (5^{2 m} + 1) (5^{m} + 1) (5^{m} - 1) . \end{matrix}

Tetszőleges pozitív egész

i

-re

5^{i} + 1

páros, de

4

-gyel nem osztható, hiszen

i = 1

-re

5^{i} + 1 = 6, i = 2

-re pedig

(5^{i} + 1) 26

-tal egyenlő. Eszerint szorzatunk első

k

tényezője páros, de

4

-gyel nem osztható szám. Az a) eset vizsgálatánál láttuk, hogy

5^{m} - 1

néggyel osztható, de

8

-cal már nem, így

2^{k + 2} ∣ (5^{n} - 1)

, de

2^{k + 3} ∤ (5^{n} - 1)

. Tehát

2^{n} ∣ (5^{n} - 1)

akkor és csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} 2^{k} m ≦ k + 2. \end{matrix}

(1)

k ≧ 3

esetén

2^{k} > k + 2

, így csak a

k = 1

és

k = 2

esetek jöhetnek szóba. Ha

k = 1

, akkor (1)-ből

2 m ≦ 3

, azaz

m = 1

, és ekkor

n = 2

. Ha pedig

k = 2

, akkor (1)-ből

4 m ≦ 4

, és így

m = 1

n = 4

. Könnyen ellenőrizhető, hogy ezek valóban megoldások.

Összefoglalva:

2^{n} ∣ (5^{n} - 1)

csak

n

= 1, 2, 4 esetén teljesül.