|
Feladat: |
F.2370 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Ákosfai Z. , Alberti G. , Balázs Z. , Böröczky K. , Danyi P. , Engländer J. , Erdős 228 L. , Hetyei G. , Holbok I. , Kántor Cs. , Lenkó Cs. , Magyar Á. , Megyesi G. , Mohay T. , Papp 193 G. , Sigray I. , Simák Gy. , Szabó E. , Szabó Endre , Szederkényi Edit , Törőcsik J. , Wágner P. A. , Weisz F. , Zieger B. |
Füzet: |
1983/március,
107 - 108. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Gráfelmélet, Indirekt bizonyítási mód, Feladat, Logikai feladatok |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/május: F.2370 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Ábrázoljuk a társaság tagjait az ábécé nagy betűivel jelölt pontokkal és ismertségüket ‐ melyet kölcsönösnek feltételezünk ‐ e pontokat összekötő szakaszokkal. Tehát két pont akkor és csak akkor van összekötve, ha az általuk reprezentált személyek ismerősök. A feltételek miatt ebben a pontszakasz rendszerben biztosan van legalább egy szakasz és van egy pont úgy, hogy és szakasz is létezik. Megmutatjuk, hogy az összes többi pont össze van kötve , , valamelyikével. Tegyük fel ugyanis, hogy nem ismeri , , egyikét sem. Ekkor létezik , aki -t és -t ismeri. A feltétel szerint nincs összekötve sem -vel, sem -vel, hiszen ekkor lenne a társaságban két olyan ember, akit nem pontosan egy másik ismer. (Pontok és szakaszok nyelvén ezt úgy fogalmazhatjuk, hogy négyszög nem jöhet létre, hiszen ennek átellenes csúcsai nem felelnek meg a feltételeknek.) Ugyanilyen okból létezik , aki -t és -t ismeri, valamint , aki -t és -t ismeri (1. ábra).
Az ábrán szereplő hét ember között további ismeretségek nem lehetnek, mert bármely két pontot összekötő szakaszt behúzva, négyszög keletkezne. Vannak továbbá olyan , , , , , tagjai, a társaságnak, akik rendre az , , , , , párok közös ismerősei (2. ábra). Előző megjegyzésünk alapján e hat ember bármelyike különbözik az 1. ábrán szereplő hét ember bármelyikétől. Belátjuk, hogy , , , , , -mel valóban hat egymástól különböző embert jelöltünk. Elég a , , eseteket kizárni. A 3. ábráról leolvasható, hogy pont-szakasz rendszerünkben bármelyik egyenlőség fennállása esetén négyszög keletkezne. Mivel indirekt feltevésünkből az következett, hogy a társaságnak legalább 13 tagja van, állíthatjuk, hogy mindenki ismeri , , valamelyikét. Megmutatjuk, hogy az összes többi pont , , közül ugyanazzal van összekötve. 4. ábra | 5. ábra |
Tegyük fel ugyanis ennek ellenkezőjét, tehát hogy és szakaszok léteznek. Mivel minden pont az , , közül pontosan eggyel van összekötve, léteznie kell egy -nek, aki -t és -t ismeri. Ez az azonban nem lehet összekötve sem -val, sem -vel, sem -vel, mivel ekkor az ; ; párokat két tagja is ismerné a társaságnak (4. ábra). Így tehát mindenki ismeri , , egyikét, pl. -t. Az 5. ábrán látható, hogy létezik ilyen, a feltételeknek megfelelő társaság. Szabó Endre (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.) Megjegyzés. A feladat állítása nemcsak , hanem bármilyen páratlan számú tagból álló társaságra igaz. Ennek a "barátság-tétel'' néven ismert állításnak bizonyítása egyáltalán nem könnyű. |
|