Kezdőlap


Feladat:	F.2369	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti G. , Almássy T. , Böröczky K. , Danyi P. , Engländer J. , Erdős L. , Fekete Gy. , Hetyei G. , Holbok I. , Lenkó Cs. , Mikó Teréz , Mohay T. , Nagy 348 R. , Nyikes P. , Papp 193 G. , Peták T. , Pintér G. , Sigray I. , Simák Gy. , Szemők Á. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Török Zs. , Weisz F. , Zieger B.
Füzet:	1983/január, 8 - 9. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Prímszámok, Feladat, Számsorozatok
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: F.2369

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladat szövegében szereplő állítás nem igaz, hiszen sem 3337, sem $33 337$ nem prím: $3337 = 47 \cdot 71$ , $33 337 = 17 \cdot 37 \cdot 53$ . A sorozatot tovább folytatva sem kapunk mindig prímet. Mivel $333 333$ osztható 7-tel (prímfelbontása $3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 37$ ), azért $3 333 337 = 10 \cdot 333 333 + 7$ is osztható 7-tel. Általában a sorozatnak azok a tagjai, melyek alakja

\begin{matrix} {\underset{︸}{333 333}}_{6 db}^{} {\underset{︸}{333 333}}_{6 db}^{} ... {\underset{︸}{333 333}}_{6 db}^{} 7, \end{matrix}

szintén oszthatók 7-tel, tehát nem lehetnek prímek.
Ahhoz, hogy a második sorozatban is végtelen sok összetett számot találunk, elegendő megmutatnunk, hogy valamilyen

k

-ra a

k

darab hármassal leírt szám osztható 31-gyel, hiszen ekkor a

\begin{matrix} {\underset{︸}{33 ... 3}}_{k db}^{} {\underset{︸}{33 ... 3}}_{k db}^{} ... {\underset{︸}{33 ... 3}}_{k db}^{} 31 \end{matrix}

szám szintén osztható 31-gyel s így (lévén nagyobb, mint 31) nem prímszám.
Tekintsük az alábbi számokat:

\begin{matrix} a_{1} = 3, a_{2} = 33, ..., a_{32} = 3 (32 db 3 -as) . \end{matrix}

Mivel 31-gyel való osztáskor összesen 31 különböző maradék lehetséges, és nekünk 32 darab számunk van, akad közöttük kettő,

a_{i}

és

a_{j}

(i < j)

, melyek különbsége osztható 31-gyel. Ámde ha 31 osztója az

\begin{matrix} a_{j} - a_{i} = a_{j - i} \cdot 10^{j - i} \end{matrix}

számnak, akkor 31 osztója

a_{j - i}

-nek is, hiszen 31 prímszám, és a szorzat második tényezője,

10^{j - i}

, nem osztható 31-gyel. Ez pedig azt jelenti, hogy a

(j - i)

darab hármasból álló szám osztható 31-gyel, ahogyan azt kívántuk.

Megjegyzés. Kellő (?) türelemmel ellenőrizhető, hogy

a_{1}

a_{2}

...

a_{14}

egyike sem osztható 31-gyel, míg

a_{15} = 333 333 333 333 333

igen, s így a második sorozat 16-ik tagja,

33 333 333 333 333 331

biztosan nem prím. Szintén belátható, hogy a második sorozat egyik tagja sem osztható a

2,3,5,7,11

és

13

számok egyikével sem; továbbá az első 17-tel osztható tag

333 333 331