|
Feladat: |
F.2353 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ákosfai Z. , Alberti G. , Breiner Z. , Böröczky K. , Csörgő T. , Danyi P. , Engländer J. , Erdős L. , Hajas Csilla , Holbok I. , Ittzés A. , Károlyi Gy. , Kovács P. , Lenkó Cs. , Megyesi G. , Mikó Teréz , Papp G. , Somlói J. , Szabó E. , Szakszon P. , Szöllősi G. , Tóth G. , Tranta Beáta , Weisz F. |
Füzet: |
1982/november,
119 - 121. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Paralelogrammák, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Vektorok felbontása összetevőkre, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/február: F.2353 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. 1. Az , pontot egyelőre a , ill. oldalszakasz belső pontjának tekintjük. Így a egyenes nem párhuzamos -vel ‐ jelöljük közös pontjukat -mel ‐, másrészt az oldal belső pontja, hiszen centrális tükörképe -nek a paralelogramma középpontjára; végül az eddigiek mindegyikétől különböző pont (1. ábra).
1. ábra Az , egyeneseket kétféleképpen is átmetszettük 2‐2 párhuzamos egyenessel. Egyrészt az , oldalpárral, emiatt azaz másrészt a , szelőpárral, emiatt hasonlóan A jobb oldalak egyenlősége alapján | | ez pedig a párhuzamos szelők tételének megfordítása alapján azt jelenti, hogy és párhuzamos egyenesek. A feladat állítását ezzel bebizonyítottuk. 2. Ha akár , akár az illető oldalszakasz valamelyikének végpontjába tolódik, vagy ha mindkettő ilyen különleges helyzetet vesz fel, akkor is egybeesik valamelyik előbbi ponttal (, , , , valamelyikével) vagy pedig határozatlan és az állítás semmitmondóvá válik. 3. Ha viszont vagy az illető oldal valamelyik meghosszabbításán van úgy, hogy is létrejön ─ vagyis és nem párhuzamosak ─, akkor az állítás lényegében ugyanígy bizonyítható.
II. megoldás. 1. Jelöljük az vektort rövidebben a-val, -t b-vel. A sík minden vektorát kifejezhetjük ezekkel ‐ ti. ha végpontjait pontjainkból elő lehet állítani szerkesztéssel vagy alkalmas megválasztással. -t és -et azzal a és közti , ill. számmal választjuk a paralelogramma megfelelő oldalán, hogy , ill. legyen, ekkor és , továbbá , és . Kifejezzük -t. , és mivel a -en keletkezik, van olyan szám, amelyre , ebből tehát . Hasonlóan , és , ahol alkalmas szám. Következő lépésünk éppen és kiszámítása lesz. kétféle előállításának eredménye ‐ jelentése szerint ‐ azonos, ezért a és b megfelelő együtthatói egyenlők: Rendezzük és megoldjuk az egyenletrendszert:
| | hacsak , ez azonban és megválasztása folytán teljesül. Ezekkel bármelyik előállításából | | ahol puszta szám, csak és , vagyis az és pontnak a , oldalon való megválasztásától függ. Eszerint az és vektorok párhuzamosak. 2. Ha -t, -et az oldalak meghosszabbításán választjuk, akkor , lehet negatív is, vagy -nél nagyobb. Ilyenkor előfordulhat, hogy , és nem létezik a felhasznált , szám. Ez nem bizonyításunk helytelenségére mutat, hanem hogy nem jön létre. Példaként bemutatjuk a , esetet, és párhuzamosak (2. ábra).
2. ábra Megjegyzés. Számos beküldő koordináta-geometriai úton igazolta az állítást. Ez lényegében azonos a II. megoldásnak azzal a speciális esetével, ha éppen négyzet, majd valamelyik oldal irányában nyújtjuk, másik síkra vetítjük párhuzamosan, de nem az -re merőlegesen. Mindez a felhasznált arányokat változatlanul hagyja. |
|