A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az négyszög köré írt kört -val, az és háromszögek köré írt köröket -gyel és -vel. Vizsgáljuk először azt az esetet, amikor az , egyenesek metszik egymást, és egyikük sem átmérője -nak.
Jelöljük az , egyenesek metszéspontját -mel. Mivel az négyszög konvex, a -n kívül van. Tükrözzük -t és -t az egyenesre, és jelöljük a tükörképeket -vel, -vel, az szimmetrikus trapéz átlóinak metszéspontját pedig -nel. nem lehet azonos -val, hiszen ekkor , és párhuzamosak lennének. A tükrözés miatt az háromszög egyenlő szárú, és az alapján levő szögeinek összege egyenlő a háromszög külső szögével. Az szakasz tehát az egyenes azonos oldalán levő és pontokból egyenlő szögek alatt látszik, hiszen mindkét szög egyenlő az szög kétszeresével. (Az szög az kerületi szöghöz tartozó középponti szög.) Emiatt rajta van -en, és a körhöz külső pontból húzott szelők darabjaira vonatkozó ismert összefüggés szerint Ha most a szakaszt is tükrözzük az egyenesre, és a trapéz átlóinak a metszéspontját -lel jelöljük, akkor hasonlóan kapjuk, hogy Mivel (1) és (2) bal oldalán a kör két -en átmenő szelőjének a darabjait szoroztuk össze, e szorzatok egyenlőek, tehát . Az és pontok -beli trapézok átlóinak a metszéspontjai, tehát az egyenesen az -nak ugyanazon az oldalán vannak, így és csak azonos lehet. Mivel a -en, a -n van, e pontok -val is azonosak. (Láttuk,, hogy és az -tól különböző pontok.) A feladat állítása ezek után a kör -n átmenő , húrjaira vonatkozó összefüggés következménye. Ha az egyenes átmérője, akkor szerepét az egyenes veszi át, és az állítás a fenti bizonyítással együtt lényegében érvényben marad. Ha és párhuzamosak, akkor az -n átmenő, velük párhuzamos egyenes érinti a , köröket, azok tehát egymást is érintik. Így ebben az esetben azonos -val, és az állítás nyilvánvaló. |