A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük ()-t -vel, ezzel egyenletrendszerünk a következőképpen alakul:
Ha ennek van megoldása, akkor , továbbá ha egy megoldás, akkor is megoldás. Ezért feltehetjük, hogy és ekkor (2) alapján minden i-re. A számtani és mértani középre vonatkozó összefüggés alapján (2) bal oldalára azaz , ezért minden -re. Adjuk most össze a (2) alatti darab egyenletet. Mindjárt rendezve | | A bal oldal értéke legfeljebb a , a jobb oldalé legalább , és egyenlőség csak úgy állhat, ha minden -re. Következésképp (2)-nek két megoldása van: , illetve . Az eredeti egyenletrendszer megoldásai tehát mindazok az szám -esek, melyekre , azaz ( egész) vagy pedig , azaz ( egész).
Megjegyzés. Az képlet az ún. Newton iterációs képlete meghatározásához. Tetszőleges pozitív értékből kiindulva az , stb. értékek egyre jobban megközelítik -at, negatív értékből indulva pedig -at. Ezért a sorozatban két egyenlő tag csak úgy fordulhat elő, ha az összes tag -mal (illetve -mal) egyenlő. |