Kezdőlap


Feladat:	F.2339	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/május, 208. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú diofantikus egyenletek, Kombinációk, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: F.2339

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két egy síkba eső egyenes csak akkor nem metszi egymást, ha párhuzamosak. Képzeljük el, hogy $17$ egyenest felvettünk a síkon. Osszuk őket osztályokba, egy osztályba kerüljenek az egymással párhuzamos egyenesek. Tegyük fel, hogy $s$ osztályunk van, az elsőbe $k_{1}, ...$ , az utolsóba $k_{s}$ egyenes került. Nyilván $k_{1}, ..., k_{s}$ pozitív egészek és

\begin{matrix} k_{1} + k_{2} + ... + k_{s} = 17. \end{matrix}

Akárhogyan adunk meg ezeknek a feltételeknek megfelelő

k_{i}

számokat, mindig találunk a síkon

17

egyenest úgy, hogy semelyik három ne menjen át egy ponton, és éppen

s

osztály legyen, s az osztályokban

k_{1}, k_{2}, ..., k_{s}

egyenes.
Állítjuk, hogy a metszéspontok száma csak a

k_{1}, ..., k_{s}

számoktól függ, az egyenesek konkrét elhelyezkedésétől nem. Valóban, vegyünk egy

i

-edik osztályba eső egyenest. Ezen összesen

17 - k_{i}

metszéspont található, mert minden más osztályba eső egyenes ‐ és csak az ‐ metszi, és ezek a metszéspontok különbözők. Így a metszéspontok száma a

\begin{matrix} (17 - k_{1}) k_{1} + (17 - k_{2}) k_{2} + ... + (17 - k_{s}) k_{s} = \\ = & 17 (k_{1} + k_{2} + ... + k_{s}) - (k_{1}^{2} + ... + k_{s}^{2}) = \\ = & 17^{2} - (k_{1}^{2} + ... + k_{s}^{2}), \end{matrix}

összeg fele, mert minden metszésponton két egyenes megy át, tehát a metszéspontokat kétszer vettük számításba.

101

metszéspontra van szükségünk, tehát akkor és csak akkor léteznek a kérdéses egyenesek, ha vannak olyan pozitív

k_{1}, k_{2}, ..., k_{s}

egészek, melyekre

\begin{matrix} k_{1} + k_{2} + ... + k_{s} & = 17 \\ k_{1}^{2} + k_{2}^{2} + ... + k_{s}^{2} & = 17^{2} - 202 = 87 \end{matrix}

egyszerre teljesül.
Rövid próbálgatás után kapjuk, hogy

s = 6

k_{1} = 8

k_{2} = 4

k_{3} = 2

k_{4} = k_{5} = k_{6} = 1

megoldás. Így meg lehet adni a feltételeknek megfelelő egyeneseket.

Megjegyzés. Nem nehéz belátni, hogy a fenti egyenletrendszernek csak a következő

k_{1} \geq k_{2} \geq ... \geq k_{s}

feltételeket kielégítő megoldásai vannak:

\begin{matrix} 8, 4, 2, 1, 1, 1 & (s=6) \\ 8, 3, 3, 2, 1 & (s=5) \\ 7, 5, 3, 2 & (s=4) \\ 6, 5, 5, 1 & (s=4). \end{matrix}