Kezdőlap


Feladat:	F.2336	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/április, 155. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Feladat, Körülírt kör
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: F.2336

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $a$ -val, $c$ -vel szemközti szöget $α$ -val, $γ$ -val, a háromszög köré írt kör sugarát $r$ -rel. Helyettesítsük a

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + 2 b^{2} cos β \end{matrix}

(1)

feltételbe az

\begin{matrix} a = 2 r sin α, b = 2 r sin β, c = 2 r sin γ \end{matrix}

összefüggéseket, kapjuk az (1)-gyel ekvivalens

\begin{matrix} sin^{2} γ - sin^{2} α = 2 sin^{2} β cos β \end{matrix}

(2)

feltételt. Itt

\begin{matrix} 2 sin β cos β = sin 2 β és sin^{2} γ - sin^{2} α = \\ = (sin^{2} γ - sin^{2} γ sin^{2} α) - (sin^{2} α - sin^{2} α sin^{2} γ) = \\ = sin^{2} γ cos^{2} α - sin^{2} α cos^{2} γ = sin (γ + α) sin (γ - α) . \end{matrix}

Mivel

sin (γ + α) = sin β \neq 0

, végül is az (1)-gyel és (2)-vel ekvivalens

\begin{matrix} sin (γ - α) = sin 2 β \end{matrix}

(3)

feltételt kapjuk, ami viszont általában azt jelenti, hogy

\begin{matrix} γ - α = 2 β + k \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

(4a)

vagy

\begin{matrix} γ - α + 2 β = 180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, \end{matrix}

(4b)

ahol

k

alkalmas egész szám. Mivel azonban esetünkben

α

β

γ

egy háromszög szögei,

k

értéke mindkét esetben csak

0

lehet, és (4a)-ból az

α = 180 - β - γ

helyettesítéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} γ = \frac{β}{2} + 90^{\circ}, α = 90^{\circ} - \frac{3}{2} β, 0^{\circ} < β < 60^{\circ}, \end{matrix}

(5a)

(4b)-ből pedig a

γ = 180^{\circ} - β - α

helyettesítéssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} α = \frac{β}{2}, γ = 180^{\circ} - \frac{3}{2} β, 0^{\circ} < β < 120^{\circ} . \end{matrix}

(5b)

Megjegyzés. A feladat az "Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából'' című példatár 2057. számú feladatával kapcsolatos, mely valami sajtóhiba folytán azt kéri igazolni, hogy ha

3 β + 2 γ = 180^{\circ}

, akkor

a^{2} - c^{2} = (1 + c) b^{2}

, pedig a jobb oldalon

c

helyett

c / a

-nak kellene állnia.