Kezdőlap


Feladat:	F.2333	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/április, 153 - 154. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Két pont távolsága, szakasz hosszúsága, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/november: F.2333

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A négyzetgyök jelek alatt mindig pozitív értékek állnak, hiszen $3 x^{2} + 2 x + 1 > 3 {(x + 1 / 3)}^{2}$ és $3 x^{2} - 4 x + 2 > 3 {(x - 2 / 3)}^{2}$ . Ezért a bal oldal minden $x$ -re értelmezve van. Mivel az egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív, azért a négyzetre emeléssel és átrendezéssel kapott

\begin{matrix} \sqrt[]{(3 x^{2} + 2 x + 1) (3 x^{2} - 4 x + 2)} ≧ - 3 x^{2} + x + 4 / 3 \end{matrix}

(2)

egyenlőtlenség pontosan akkor áll fenn, mikor az eredeti. (2) jobb oldala lehet negatív ‐ ekkor az egyenlőtlenség teljesül ‐ és lehet nem-negatív is, amikor négyzetre emelünk. Az eredmény rendezés után

{(6 x - 1)}^{2} ≧ 0

. Ez mindig teljesül, ami azt jelenti, hogy az eredeti egyenlőtlenség is minden

x

-re fennáll. (I. S.)

II. megoldás. Tekintsük a derékszögű koordináta-rendszerben a

P (- 1 / 3; \sqrt[]{2} / 3)

, valamint a

Q (2 / 3; - \sqrt[]{2} / 3)

pontokat. Az

x

tengely egy tetszőleges

X (x; 0)

pontjára a

P

-től, illetve

Q

-tól mért távolságok négyzete

\begin{matrix} P X^{2} = {(x + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{2}{9} = \frac{1}{3} (3 x^{2} + 2 x + 1), \\ Q X^{2} = {(x - \frac{2}{3})}^{2} + \frac{2}{9} = \frac{1}{3} (3 x^{2} - 4 x + 2) . \end{matrix}

A háromszög-egyenlőtlenség miatt

P X + Q X ≧ P Q

, s ez

P Q = \sqrt[]{17} / 3

miatt éppen a bizonyítandó egyenlőtlenséget adja. Egyenlőség akkor áll fenn, ha

X

P Q

szakasz és az

x

tengely metszéspontjába esik, azaz ha

x = 1 / 6