Feladat:	F.2328	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Megyesi Gábor
Füzet:	1982/május, 202 - 204. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Feladat, Paraméteres egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/október: F.2328

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle xy+xz=\mathrm{10,}yz+yu=\mathrm{6,}zu+zx=\mathrm{2,}ux+uy=-2.}\end{array}$ (1) I. megoldás. A két szélső egyenlet összegéből a két középső összegét levonva azt kapjuk, hogy $\left(x-z\right)\left(y+u\right)=0$. Így tehát vagy $x=z$ vagy $y=-u$. Továbbá ha ezek bármelyike, és az (1) egyenletrendszer első három egyenlete is teljesül, akkor teljesül a negyedik is. Az első esetben helyettesítsünk az első három egyenletben $z$ helyébe $x$-et. Mindjárt szorzattá alakítva $\begin{array}{c}{\displaystyle x\left(x+y\right)=\mathrm{10,}y\left(u+x\right)=\mathrm{6,}x\left(u+x\right)=2.}\end{array}$ (2) A második és harmadik összefüggés szerint $y=3x$ (hiszen $u+x$ nem lehet $0$), ezért (2) első egyenletébe helyettesítve $x^2=10/4$, ahonnan- a gyökök ($u=-x+2/x$ és $z=x$ alapján) $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccc|}\hline \hfill {\displaystyle \phantom{|}x}\hfill & \hfill {\displaystyle y}\hfill & \hfill {\displaystyle z}\hfill & \hfill {\displaystyle u}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{\sqrt[]{10}}{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{3\sqrt[]{10}}{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{\sqrt[]{10}}{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle -\frac{1}{\sqrt[]{10}}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\frac{\sqrt[]{10}}{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle -\frac{3\sqrt[]{10}}{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle -\frac{\sqrt[]{10}}{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{1}{\sqrt[]{10}}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Ezek előbbi megjegyzésünk értelmében megoldásai (1)-nek, hiszen (2)-ben mindhárom egyenlet teljesül. A második esetben $y=-u$. Írjunk tehát (1)-ben $u$ helyett $\left(-y\right)$-t: $\begin{array}{c}{\displaystyle xy+xz=10;yz-y^2=\mathrm{6,}-yz+xz=2.}\end{array}$ (3) A (3) második egyenletéből $z$-t, az elsőből $x$-et kifejezzük $y$ segítségével: $\begin{array}{c}{\displaystyle z=\frac{6+y^2}{y}\mathrm{,}x=\frac{10}{y+z}=\frac{10}{y+\left(6+y^2\right)/y}=\frac{5y}{3+y^2}\mathrm{.}}\end{array}$ (4) Ha tehát $z$-t, illetve $x$-et így választjuk, akkor (3)-ban az első két egyenlet biztosan teljesül. Ahhoz, hogy a harmadik is teljesüljön, $y$-t úgy kell választanunk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle -y\cdot \frac{6+y^2}{y}+\frac{5y}{3+y^2}\cdot \frac{6+y^2}{y}=\mathrm{2,}}\end{array}$ azaz $y^4+6y^2-6=0$ is igaz legyen. Ezt megoldva (csak a valós megoldásokat tekintve) kapjuk a további gyököket, melyek ‐ az előzőkhöz hasonlóan láthatóan ‐ (1)-nek is megoldásai: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccc|}\hline \hfill {\displaystyle \phantom{|}x}\hfill & \hfill {\displaystyle y}\hfill & \hfill {\displaystyle z}\hfill & \hfill {\displaystyle u}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{5\sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}{\sqrt[]{15}}}\hfill & \hfill {\displaystyle \sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}\hfill & \hfill {\displaystyle \frac{3+\sqrt[]{15}}{\sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}}\hfill & \hfill {\displaystyle -\sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle -\frac{5\sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}{\sqrt[]{15}}}\hfill & \hfill {\displaystyle -\sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}\hfill & \hfill {\displaystyle -\frac{3+\sqrt[]{15}}{\sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}}\hfill & \hfill {\displaystyle \sqrt[]{-3+\sqrt[]{15}}}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Az egyenletrendszernek tehát a fent felsorolt négy megoldása van.    Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)   II. megoldás. Ha az (1) egyenletek jobb oldalait $a$, $b$, $c$, $d$-vel jelöljük, továbbá bevezetjük az $xz=A\mathrm{,}uy=B$ jelöléseket, az egyenletrendszer a következőképpen alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle xy=a-A\mathrm{,}yz=b-B\mathrm{,}zu=c-A\mathrm{,}ux=d-B\mathrm{.}}\end{array}$ Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a-A\right)\left(c-A\right)=AB\mathrm{,}\left(b-B\right)\left(d-B\right)=AB\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Ha (5) első egyenletéből $B$-t kifejezzük, és behelyettesítjük a másodikba, akkor átrendezés után azt kapjuk, hogy ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \left(a+b+c+d\right)A^3-\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd+{\left(a+c\right)}^2\right)A^2+}\hfill \\ \hfill {\displaystyle +ac\left(2a+b+2c+d\right)A-a^2{c}^2=0.}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\end{array}}$ Ennek megoldásait ismerve az eredeti (1) egyenletrendszert már könnyen megoldhatjuk: (5) első egyenletéből $B$ értékét kapjuk, s ezzel az $xy\mathrm{,}yz\mathrm{,}xu$ stb. kettős szorzatok értékét is tudjuk. Ezekből például $x^2$ a következőképpen kapható: $\begin{array}{c}{\displaystyle x^2=\frac{xy\cdot xz}{yz}=\frac{\left(a-A\right)A}{b-B}\mathrm{.}}\end{array}$ Esetünkben $a=\mathrm{10,}b=\mathrm{6,}c=\mathrm{2,}d=-2$, tehát a (6) egyenlet a következőképpen alakul: $\begin{array}{c}{\displaystyle 16A^3-200A^2+560A-400=0.}\end{array}$ Szerencsénkre ennek bal oldala szorzattá alakítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle 8\left(2A-5\right)\left(A^2-10A+10\right)=\mathrm{0,}}\end{array}$ ahonnan $A$ lehetséges értékei $5/\mathrm{2,}5-\sqrt[]{15}\mathrm{,}5+\sqrt[]{15}$. Ezekből a már felírt megoldásokat kapjuk meg.