Feladat: F.2325 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Papp Gábor 
Füzet: 1982/február, 68 - 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Konstruktív megoldási módszer, Logikai feladatok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/szeptember: F.2325

A jobb oldali táblázat úgy keletkezett a bal oldaliból, hogy felcseréltük előbb az első két sort, majd az első két oszlopot, végül az utolsó két oszlopot. Azon a 4-4 mezőn, melyen a bal oldali táblázatban egyforma betűk állnak, a jobb oldali táblázatban is egyforma betűk vannak.
 


ABCDDCBACACABDBDCDABBADCACACDBDB
Határozzuk meg mindazokat a táblázatokat, amelyek a bal oldali táblázatból úgy kaphatók meg, hogy abban előbb a soroknak, majd az oszlopoknak megváltoztatjuk a sorrendjét, és amelyeknek megvan a fenti tulajdonságuk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett táblázatok soraiban és oszlopaiban szükségképpen ugyanannyi különböző betűnek kell szerepelnie, mint amennyi a kiinduló táblázat megfelelő soraiban, ill. oszlopaiban van. Az eredeti táblázatban levő különböző betűk helyén ugyanis a kívánt táblázatokban is különböző betűknek kell lenniük, mivel mindegyik betűből pontosan 4-et tartalmaznak a táblázatok.
Megfigyelhetjük, hogy a sorok cseréje az egyes oszlopok betűkészletén nem változtat, ugyanígy az oszlopok cseréje sem befolyásolja az egyes sorokban található betűk összességét.
Az eredeti táblázat első két sorában 4‐4, harmadik és negyedik sorában 2‐2 különböző betű található. Az oszlopoknál hasonló a helyzet. Mindebből következik, hogy a sorcserék eredményeképpen az első sor csak a másodikkal, a harmadik sor csak a negyedikkel cserélhet helyet. Ugyanez elmondható az oszlopcserékkel kapcsolatban is.
A sorcserék végeztével négyféle helyzet jöhet létre:

 

a) minden sor az eredeti helyét foglalja el,
b) csak a felső két sor cserélt helyet,
c) csak az alsó két sor cserélt helyet,
d) mindkét csere végbement.
A kiinduló táblázat további tulajdonsága, amely a sorcserék után is megmarad, hogy két alsó 2×2-es résztáblázata egyforma. Ha az oszlopcserék csak egy
 


ABCDDCBACACABDBDa)DCBAABCDCACABDBDb)ABCDDCBABDBDCACAc)DCBAABCDBDBDCACAd)
1. ábra
 


cserét eredményeznének, akkor a kapott táblázatnak már nem volna meg ez a tulajdonsága. Ebből következik, hogy az oszlopcserék nyomán vagy minden oszlop a helyén marad, vagy mindkét csere végbemegy: az első oszlop a másodikkal, a harmadik oszlop a negyedikkel helyet cserél.
Az 1. ábrán látható táblázatok tulajdonképpen az első esetet mutatják. A 2. ábrán ezekből az oszlopok felcseréléséből nyert táblázatok láthatók.
 


BADCCDABACACDBDBa)CDABBADCACACDBDBb)BADCCDABDBDBACACc)CDABBADCDBDBACACd)
2. ábra
 

A követelményeknek az 1a és 1d, valamint a 2b és 2c ábrán látható táblázatok felelnek meg. Mivel minden lehetséges esetet megvizsgáltunk, több ilyen táblázat nincs.
Ha a feladat szövegét úgy értelmezzük, hogy az eredeti táblázat sorainak és oszlopainak sorrendjét meg kell változtatnunk, akkor csak a 2b és 2c-vel jelzett táblázatok tekinthetők megfelelőnek. (L.L.)
 

 Papp Gábor (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.)