Kezdőlap


Feladat:	F.2324	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1982/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Szabályos tetraéder, Koszinusztétel alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/szeptember: F.2324

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyesbítés! Az 1982. 2. szám F. 2324-es feladat megoldása kapcsán, a 67. oldal alján a következőket olvashatjuk:
,,Megjegyzés. Az $a, b, c, d$ szakaszok közti összefüggés szimmetrikus alakra hozható.''
Az ezután következő formula azonban hiányos, lemaradt a $3$ -as szorzó. A hibára Danyi Pál (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. tan.) hívta fel figyelmünket, s egyben a helyes átalakítás lépéseit is leírta.
Ezt közöljük a továbbiakban.
A megoldás egyik részeredményeként kaptuk, hogy

\begin{matrix} t = \frac{1}{4} \sqrt[]{2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) - (a^{4} + b^{4} + c^{4}) .} \end{matrix}

Másrészt szintén. egy részeredmény alapján:

\begin{matrix} d^{2} = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + 2 \sqrt[]{3} t . \end{matrix}

Innen, behelyettesítve

t

értékét:

\begin{matrix} 2 d^{2} - (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = \sqrt[]{3} \sqrt[]{2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + b^{2} c^{2}) - (a^{4} + b^{4} + c^{4})} . \end{matrix}

Négyzetre emelve mindkét oldalt:

\begin{matrix} 4 d^{4} - 4 d^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) + a^{4} + b^{4} + c^{4} + 2 a^{2} b^{2} + 2 b^{2} c^{2} + 2 c^{2} a^{2} = \\ = 3 [2 (a^{2} b^{2} + b^{2} c^{2} + c^{2} a^{2}) (a^{4} + b^{4} + c^{4})], \end{matrix}

ahonnan:

\begin{matrix} 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}) = 2 (a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2} d^{2} + b^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} + c^{2} d^{2}), \\ 2 (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} - (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}), \\ 3 (a^{4} + b^{4} + c^{4} + d^{4}) = {(a^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2})}^{2} . \end{matrix}