|
Feladat: |
F.2312 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ákosfai Z. , Alberti G. , Balázs Z. , Bíró Magdolna , Böröczky K. , Csere K. , Csörgő T. , Czakó F. , Danyi P. , Ditrich P. , Dobrosi D. , Drávucz Katalin , Erdős L. , Fekete Zs. , Guáth L. , Hatt J. , Havasi G. , Heckenast L. , Hetyei G. , Jakab G. , Kapos L. , Károlyi Gy. , Kató G. , Király Z. , Kovács P. , Magyar Á. , Magyar Cs. , Megyesi G. , Mihálykó Cs. , Mikó Teréz , Molnár L. , Muraközy Márta , Nagy R. , Regős Enikő , Simák Gy. , Simonyi G. , Szabó E. , Szabó T. , Szállási Z. , Szöllősi Gy. , Tranta Beáta , Törőcsik J. , Zubor Z. |
Füzet: |
1981/december,
200 - 203. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Szinusztétel alkalmazása, Feladat, Beírt kör |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1981/április: F.2312 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. A vizsgálandó szög a háromszög középvonalának -ból vett látószöge, és mindig a egyenesnek -t nem tartalmazó partján van, hiszen -nak az oldaltól való távolsága ‐ a beírt kör sugara ‐ nyilván kisebb, mint a csúcshoz tartozó magasság fele.
A követelmény jobb oldala egyenlő -val. Ekkora szöget zárnak be egymással az -ból a körnek a és oldalon levő , ill. érintkezési pontjaihoz húzott félegyenesek is, hiszen a négyszögnek két szöge derékszög. Eszerint a szögvonal (ti. az egymáshoz képest rögzített , félegyenes-pár) vagy azonos a szögvonallal vagy ahhoz képest körül el van fordulva. Azonosságuk esetében az eredeti háromszög szabályos, hiszen egyszersmind a , oldalak felező merőlegeseinek is közös pontja, tehát . Ha viszont , akkor , különben a háromszög egyenlő szárú lenne, és , valamint és tükrös pontpár lenne a háromszög szimmetriatengelyére és nem teljesülhetne a jelzett elfordult helyzet. Elég a nagyságviszony mellett keresnünk a követelmény teljesülését. Ekkor egyszersmind , pontosabban =. Az egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha a két tartomány nem közös részei egyenlők: . Ekkor az és sugarakra támaszkodó derékszögű háromszögek egybevágók, tehát = , és folytatólag a kör érintőszakaszainak egyenlősége alapján
vagyis Ez a feltétel nemcsak szükséges, hanem elegendő is, hiszen a gondolatmenet megfordítható. Tehát a keresett feltétel: a háromszög oldalai számtani sorozatot alkossanak úgy, hogy a nagyságra nézve középső oldal . Természetesen odaértendő, hogy a háromszög létezzék, így adott mellett az , oldalpárra Megjegyzés. Érdemes átvinni a talált feltételt a háromszög szögeire. A sinustétel alapján (1) ekvivalens sorra az alábbiakkal: | | | | | | II. megoldás. A feladat követelményének az I. megoldás szerinti alakja azt kívánja, hogy húrnégyszög legyen, tehát
Tükrözzük -et -re; -et -ra. Az , ill. kép nyilván az egyenesen keletkezik, és illetve , tehát az előbbi egyenlőség alapján -nek és -nek egybe kell esnie. Igy pedig | | (2) | szükséges tehát, hogy számtani közepe legyen a másik két oldalnak. Fordítva, ha egy háromszögben teljesül (2), akkor legyen -nek -ra való tükörképe . Ekkor és egymás képei -ra, hiszen . Így pedig | | vagyis húrnégyszög, és | | ahogy a feladat kívánja. Tehát a (2) feltétel elegendő is. III. megoldás. Legyen tetszőleges háromszög, és a beírt körének a középpontja . Tükrözzük -t a , oldalak felezőpontjára, és a kapott pontokat jelöljük -vel, -vel.
Mérjük fel az szakasz végpontjaiban kifelé a -nél levő szög felét, és az új szárak metszéspontját jelöljük -fel. Így az háromszög egyenlő szárú lesz, és ha körül az -t alkalmas szöggel elforgatjuk, akkor az -be jut. Tükrözzük az egyenest az , egyenesekre. Ezek az új egyenesek az egyenessel együtt úgy vágják három részre az , egyenesnek a háromszöget tartalmazó oldalán levő 180-os szögeket, hogy a három darab -ban és -ben is az háromszög három szögével egyenlő. Mivel a -nél levő szög megfelelője mindkét esetben középen van, és a másik kettő ciklikus sorrendjét az körüli forgatás egymásba viszi, ez a forgatás az egyenest a egyenesbe viszi. Emiatt egyenlő távol van ettől a két egyenestől, tehát rajta van a háromszög -nél levő szögét felező egyenesen. Ez az egyenes az háromszög -nél levő szögét éppen két akkora darabra vágja, mint az háromszög -nál, -nél levő szögei, mert például az és a háromszögek -nél, -nél levő szögeinek az összege egyenlő, és emiatt az -nál, illetve -nél levő szögeik is egyenlőek. -ből tehát az szakasz épp akkora szög alatt látszik, mint a feladat szerinti háromszögben -ból az szakasz. Ez utóbbinak nálunk a szög felel meg, hiszen az , az szakasz felezőpontja. Mivel a beírt kör érinti az egyenest, de nem metszi a -n át -vel párhuzamosan húzott egyenest, így az egyenesnek az -t tartalmazó oldalán van. Ha tehát az egyenes "fölött'' van, akkor a egyenes "alatt'' van, és ugyancsak az egyenes "alatt'' van az pont. Azt kell tehát megmondanunk, hogy mi annak a feltétele, hogy a és szögek egyenlőek legyenek. Toljuk el a háromszöget a szakasz mentén. Amikor a -be jut, akkor az -ba kerül, hiszen az négyszög paralelogramma. Vigye ez az eltolás -t -ba. Ez a ugyanúgy az egyenes alatt a egyenesen lesz, mint , hiszen a egyenes párhuzamos az eltolás irányával. Mivel az egyenes alatt a egyenesen mozogva, az szakaszt monoton változó szög alatt látjuk, a feladatban mondott egyenlőség szükséges és elegendő feltétele, hogy azonos legyen -fel. Ez pedig azzal ekvivalens, hogy felezze a szakaszt, és az -fel, a -fel legyen párhuzamos. Ekkor viszont a szögfelezőt az , szögfelezőkre tükrözve épp az , egyeneseket kapjuk, és ez a tükrözés a , pontokat a szögfelező -n levő pontjába viszi. Vagyis az szakasz hossza egyenlő az , szakaszok hosszának összegével, ami nem más, mint az , szakaszok hosszának a számtani közepe.
Megjegyzés. Látószögekről beszéltünk, de annak érdekében, hogy a megoldás a lehető legelemibb (legkevesebb ismert összefüggést felhasználó) legyen, nem használtuk a róluk szóló nevezetes tételt. Ez természetesen rövidítené a megoldás indítását. A látószögek felhasznált monotonitása tulajdonképpen közvetlenebbül látható, ha -t toljuk -be, és a rögzített -ből nézzük a , síneken futó szakaszt; csak az egyszerűség kedvéért választottuk a fordított utat.
|
|