A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Igazoljuk, hogy minden valós -re | | (1) |
I. megoldás. Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát 2-vel. A , valamint a azonosságokat felhasználva (1) a következő alakra hozható: | | (2) | Mivel , és értéke legfeljebb 1, azért (2) bal oldalának értéke legfeljebb minden -re. Így a feladat állításához elég belátnunk, hogy ez az érték nem lehet 9, azaz , és egyszerre nem állhatnak fönn. De ez nyilvánvaló, hiszen ha , akkor . Ezzel a bizonyítást befejeztük. Károlyi Gyula, (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)
II. megoldás. Ismeretes, hogy , és hogy itt egyenlőség csak mellett lehet. Emiatt , és nem lehet a két helyen egyidejűleg egyenlőség. Így az (1) bal oldalán álló szorzat tényezőinek összegére kapjuk, hogy | | amiből (1) a számtani és mértani közép közti összefüggés alapján következik.
|