Feladat: F.2310 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Károlyi Gyula 
Füzet: 1981/december, 199. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Trigonometrikus egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/április: F.2310

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Igazoljuk, hogy minden valós x-re

(sinx+2cos2x)(2sin2x-cosx)<4,5.(1)

I. megoldás. Szorozzuk meg az egyenlőtlenség mindkét oldalát 2-vel. A cos3x=cosxcos2x-sinxsin2x, valamint a sin2α=2sinαcosα azonosságokat felhasználva (1) a következő alakra hozható:
4sin4x-sin2x-4cos3x<9.(2)
Mivel sin 4x, -sin 2x és -cos 3x értéke legfeljebb 1, azért (2) bal oldalának értéke legfeljebb 4+1+4=9 minden x-re. Így a feladat állításához elég belátnunk, hogy ez az érték nem lehet 9, azaz sin4x=1, -sin2x=1 és -cos3x=1 egyszerre nem állhatnak fönn. De ez nyilvánvaló, hiszen ha -sin2x=1, akkor sin4x=0. Ezzel a bizonyítást befejeztük.
 

Károlyi Gyula, (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)

 

II. megoldás. Ismeretes, hogy |sinx|+|cosx|≦2, és hogy itt egyenlőség csak |sinx|=|cosx|=22 mellett lehet. Emiatt |sin2x|+|cos2x|≦2, és nem lehet a két helyen egyidejűleg egyenlőség. Így az (1) bal oldalán álló szorzat tényezőinek összegére kapjuk, hogy
|sinx+2cos2x|+|2sin2x-cosx|<32,
amiből (1) a számtani és mértani közép közti összefüggés alapján következik.