A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük az alaplap (szabályos ötszög) csúcsait rendre , , , , -vel, a gúla hatodik csúcsát fel. Mivel az oldallapok leforgatásával szabályos csillagötszög keletkezik, azért -nek az él körüli leforgatott helyzete az és oldalegyenesek metszéspontjába esik (1. ábra).
1. ábra E szerint az oldallapok olyan egyenlő szárú háromszögek, amelyekben az alapon levő szög , és az oldalélek hossza | |
Jelöljük az alaplap középpontját -val ‐ ez a magasság talppontja ‐, az él felezőpontját -vel. A gúla előírt szabályosságából következik, hogy mindkét gömb középpontja az magasságvonalon (forgási szimmetriatengelyen) lesz, továbbá a beírt gömb az alaplapot -ban érinti, az lapot pedig a oldalmagasság egy pontjában. Legyen még a beírt gömb középpontja , és sugara , így felezi az szöget, és | |
Itt ismert goniometriai összefüggések alapján, valamint felhasználva -nak és többszöröseinek a szabályos ötszögből kiszámítható szögfüggvényeit, egyrészt | | másrészt , így a gyökjel alatti kifejezés:
Ezekkel | |
A körülírt gömb sugarának számításához a háromszöget használjuk. Jelöljük a gömb középpontját -val, felezőpontját -val. Az és derékszögű háromszögek hasonlóságából | | Itt | |
A nevezőbeli négyzetgyökjel alatt | | áll, végeredményben tehát | |
Megjegyzés. Két észrevételt teszünk számításaink alapján. Egyrészt , másrészt tehát és egybeesik.
II. megoldás (vázlat). Induljunk ki a szabályos ötszög eukleidészi szerkesztéséből (2. ábra).
2. ábra Legyenek és a kör merőleges sugarai, az szakasz felezőpontja, és jelöljük a középpontú, -n, illetve -n átmenő köröket -lal, illetve -gyel, -nek az egyenesen levő pontjait -vel, -vel ( legyen közülük -hoz közelebb). Az derékszögű háromszögben a , szakaszok mértani közepe, emiatt vagyis és aránya megegyezik a szabályos tízszög oldalainak és a köré írt kör sugarának az arányával. Így valóban a -ba írt szabályos tízszög oldala, és miatt a -ba írt szabályos ötszög átlója, végül miatt a -ba írt szabályos ötszög oldala. Forgassuk meg ezt az ábrát a egyenes körül, és jelöljük a , körök forgatásából keletkező gömböket lal, -gyel. -ből a forgatásából származó sík -val egybevágó kört metsz ki, tehát az ebbe írt szabályos ötszög oldalai -vel egyenlőek, átlói pedig -vel. így ez az ötszög -vel együtt épp a feladatban szereplő gúlát határozza meg, ha egységnyi. A kapott gúlának természetesen a köré írt gömbje, megmutatjuk, hogy a beírt gömb. A konstrukció miatt érinti az alaplapot, melyben például a csúcsból induló átlók az oldallapokkal egybevágó háromszögeket zárnak közre. Mivel , a -hoz -ből húzott érintősíkok is -val egybevágó köröket metszenek ki -ből, tehát a gúla oldallapjai valóban érintik -t. Ha , akkor . Ha tehát , akkor Így a gúlába írt gömb sugara és a gúla köré írt gömb sugara . |