Kezdőlap


Feladat:	F.2301	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ákosfai Z. , Alberti G. , Bognár P. , Böröczky K. , Csere K. , Cseri Hajnalka , Csörgő T. , Czakó F. , Dani S. , Dósa Gy. , Erdős L. , Feledi Gy. , Fóris Z. , Fritz P. , Havasi G. , Hetyei G. , Hideg Sz. , Holbok I. , Kapos L. , Károlyi Gy. , Katona Gy. , Koródi P. , Krähling János , Megyesi Gy. , Mohay T. , Nagy R. , Nagy T. , Németh Á. , Simonyi G. , Somogyi H. , Strublik S. , Szabó E. , Szabó T. , Tóth Marianna , Tranta Beáta
Füzet:	1981/november, 126 - 128. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gömb és részei, Szabályos tetraéder, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/február: F.2301

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Problémánk az F. $2258.$ feladat^{$^{*}$} első része folytatásának tekinthető. Annak a feladatnak az állítása azokról a részekről szólt, amelyekre az $A B C D$ szabályos tetraéder köré írt gömb felülete feloszlik, ha metsszük a magasságvonalait (egyben súlyvonalait) merőlegesen felező síkokkal. A részek felszínére vonatkozó állítás bizonyítása céljára le kellett írunk a részeket, és most azt a leírást folytathatjuk.
Az ottani leírást így kezdtük: mindegyik felező merőleges sík úgy is előállítható, hogy az illető magasságvonalhoz tartozó tetraéderlap síkját tükrözzük a körülírt gömb $O$ középpontjára, ugyanis $O$ ‐ egyben a test súlypontja ‐ mindegyik magasságnak a laphoz közelebbi negyedelő pontjában van. Ezért tovább a gömbfelületnek a lapok síkjai által létesített feldarabolását tekintettük. Az így keletkezett felosztás minden egyes felületi része egy olyan résznek az $O$ -ra való tükörképe, amely az eredeti elgondolás szerint keletkezett.
Mostani feladatunkban az oktaéder $8$ lapsíkja közül $4$ a kiindulási $A B C D$ tetraédernek is lapsíkja, hiszen $3 - 3$ tetraéderél (és felezőpontjaik is) $1 - 1$ síkban van, a további $4$ lapsík pedig rendre azonos a felező merőleges síkokkal, mert a tetraédernek pl. a $D D'$ tengely körüli forgási szimmetriája alapján ‐ ahol a $D'$ magasságtalppont egyszersmind az $A B C$ szabályos háromszög-lap centruma ‐ a $D D'$ szakasz felező merőleges síkja felezi a $D A$ , $D B$ , $D C$ éleket ( $1.$ ábra).

1. ábra

A végrehajtás szempontjából tehát célszerűbb lesz így kimondani új feladatunkat: a gömböt egyrészt az

A B C D

tetraéder

4

lapsíkjával metsszük, másrészt az

O

-ra vonatkozó tükörképének, az

A^{*} B^{*} C^{*} D^{*}

szabályos tetraédernek

4

lapsíkjával.
Első

4

körünk révén az idézett megoldás szerint

2

-féle gömbfelületi rész keletkezett: kétcsúcsúak és háromcsúcsúak. (Nem volna helyes gömbháromszögnek nevezni az utóbbit, mert ez az olyan gömbfelületi részek bevett, szokásos neve, amelyeket

3

főkörnek

1 - 1

íve határol.) Kétcsúcsú rész

6

keletkezett a tetraéder

6

élének megfelelően, az

O

-ból induló és az élek

1 - 1

pontján áthaladó félegyenesek

1 - 1

ilyen részt metszve lépnek ki a gömbből, háromcsúcsú rész pedig

4

, a lapoknak megfelelően.
Tekintsük a

2.

ábrabeli felosztást fölülről, az

A B C

síkra merőlegesen ránézve; ez a vetületszerű kép egyelőre célszerűbb, mint egy távlati rajz.

2. ábra

3.

ábra vastag vonalai az

A

B

C

csúcsokon átmenő kör és a

D A B

D B C

D C A

köröknek a felső félgömbön levő, felénk eső ívei. Az utóbbi

3

kör teljes képei ellipszisek, átmennek az ábra középpontján, ami

D

O

és

D^{*}

egybeeső képe.

3. ábra

Kiegészítjük a

3.

ábrát a

4

új kör képeivel. Az

A^{*} B^{*} C^{*}

kört együtt látjuk az

A B C

körrel. A további

3

kör képei a

3

ellipszisnek a centrumra való tükörképei, átmennek a gömb legfelső

D^{*}

pontjának képén. Látható (felső) ívüket hosszú szaggatású vonallal rajzoltuk. Mindegyik ív

2

ponton lép át az

A B C

háromcsúcsúból a vele szomszédos kétcsúcsúak közül

2

-be, majd onnan tovább ismét egy

3

csúcsúba, pl. a

D^{*} A^{*} C^{*}

kör

D^{*} A^{*}

íve,

H_{1}

H_{2}

-n át a

B C

-be, ill. a

D B C

-be, és ugyanezekbe a

D^{*} A^{*} B^{*}

kör

D^{*} A^{*}

íve is

K_{1}

K_{2}

-n át.
Így az

A B C

részből

6

új rész keletkezett, de

3 - 3

nyilván egybevágó, tehát

2

-féle, háromcsúcsú és négycsúcsú. A

B C

(régi) kétcsúcsú szintén háromcsúcsúakra és négycsúcsúakra oszlott,

2

, ill.

1

rész ilyen. A kétféle eredetű háromcsúcsúak egybevágók, pl.

D^{*} H_{1} K_{1}

és

C H_{1} H_{2}

, hiszen az előbbi a

D^{*} A^{*}

kétcsúcsúba is beletartozik. Mondhatjuk egyenlő szárúnak is a háromcsúcsúakat, oldalaik tehát

2

"szár'' és

1

"alap'' (ívek).
A talált kétféle négycsúcsú rész viszont nem egybevágó, oldalaik "szárak'', ill. "alapok'', az

A B C

-belieknek

2 - 2

szöge

60^{\circ}

körüli érték, a

B C

-belieké

90^{\circ}

körüli.
Mindezek szerint a felosztásban

3

-féle gömbfelületi rész található:

24

db háromcsúcsú (

2 \cdot 6

kétcsúcsúból

2 - 2

6

db négyzetszerű négycsúcsú (oldalai "alapok''), ezek

2 - 2

kétcsúcsúnak közös részei és

12

db rombusz-szerű négycsúcsú,

2 - 2

régi fajta háromcsúcsúnak közös részei.

^{$^{*}$}Lásd a megoldást K. M. L. 61. (1980) 128-130. oldal.