|
Feladat: |
F.2300 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ákosfai Z. , Böröczky K. , Dósa Gy. , Erdélyi E. , Gulyás Gy. , Hetyei G. , Ittzés A. , Károlyi Gy. , Kerényi I. , Kurucz Gy. , Lenkó Cs. , Mikó Teréz , Regős Enikő , Simonyi G. , Terenyi Z. , Tranta Beáta |
Füzet: |
1981/november,
123 - 126. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Négyszögek szerkesztése, Feladat, Középponti és kerületi szögek |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1981/február: F.2300 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatra csak azzal a föltételezéssel adunk megoldást, hogy az eredeti ‐ a megszerkesztendő ‐ négyszög átlói metszéspontjának mind a négy vetülete az illető oldalszakaszon keletkezett, a oldalon az adott csúcs, és tovább a , , (1. ábra).
1. ábra Föltételezésünk egyáltalán nem következik abból, hogy az négyszög konvex. Az kényszerít a fenti föltételezésre, hogy négyszögszerkesztéseknél jóval bonyolultabb lehet a diszkusszió, mint háromszögszerkesztéseknél, különösen ha ‐ mint most is ‐ nem méretek állnak rendelkezésre, hanem pontok helyzete ismert. (Gyakorlatilag fontos esetben tehát a vetületek elhelyezkedésére változatokat is figyelembe kellene vennünk, és esetenként vizsgálnunk, hogy ezáltal milyen változások következnek be az alábbiakban.) A feladatra rátérve, elemzésünkben szokás szerint föltesszük, hogy már sikerült megoldani. Az adott négyszög szögei alapján két mértani helyet ‐ látókörívet ‐ szerkeszthetünk a kérdéses pontra. Ennek ismeretében az , , , szakaszokra a talppontjukon át állított merőlegesek adják meg a keresett négyszög oldalegyeneseit, és amennyiben ezek szomszédos páronként metszik egymást, akkor maga a négyszög is létrejön. Ábránkon a egyenes elválasztja -et és -t, így konvex volta alapján viszont az -et tartalmazó partján van -nek. Ezért a -t tartalmazó szögtartomány konvex, az -t tartalmazó szögtartomány konkáv. Mindkettőnek részét teszi az eredeti átlók közti , illetve szög, és a többletet ki lehet fejezni az adott négyszög -nél és -nál levő szögeivel. Feltevésünk szerint , , és konvex húrnégyszögek, mert szemben fekvő szögük derékszög. Ezekből előbb a konvex, majd a konkáv szögre
hasonlóan
ezt az előbbiből kivonva, rendezés után | | (1) | ekkora tehát a átlónak a keresett -ből vett látószöge. A szakasznak -ből vett "másik'' látószöge viszont , vagyis az és félegyenesek között az a szögtartomány, amelyik -t tartalmazza. Ezek szerint ‐ ha kizárólag az , , , pontokat ismerjük, az , ill. nyílású látószögkörívet a -nek azon a partján kell szerkesztenünk, amelyiken a -re ránéző szögek közül a kisebbiknek a csúcsa van. Ha , akkor a kapott feltétel azt jelenti, hogy és szakaszon van. Hasonlóan a konvex látószögre | | mert felvételünkben és a körív a partján rajzolandó. Ezekből a fönt leírt szerkesztés végrehajtható. , vagyis nagyobb, mint -nek -ból vett látószöge, hiszen ezért a látókörív elválasztja egymástól -t és -t (és ugyanígy ), a két körív metszi egymást, létrejön. Megmutatjuk, hogy a két látókörív metszéspontjából és az , szakaszokra a talppontjukon át állított merőlegesekből kapott négyszögben ‐ ha az létrejött ‐ az átlók valóban átmennek -en. Ekkor a fönti elemzésben felhasznált húrnégyszögek immár szerkesztésünknél fogva húrnégyszögek. Ekkor tehát
másrészt hasonlóan
tehát | | rajta van az átlón. Ugyanígy látható be, hogy a átlón is rajta van. Ezek szerint az négyszögből a feladatban leírt úton valóban visszakapjuk az négyszöget. Hangsúlyozzuk: ebben a bizonyításban is használtuk ábránkat, a pontjaink helyzetére használt föltételezéseinket. Egy más eredményre vezető helyzet hasonló kidolgozása látható a . ábrán.
2. ábra
Megjegyzés. Érkezett olyan dolgozat, amely az négyszögből kiindulva állít elő a leírt úton újabb négyszöget, és ezt ismétli többször "addig, amíg a kérdéses négyszöghöz hasonlót nem kap''. Egy kérdés: mivel a kérdéses ‐ azaz keresett ‐ négyszöget nem ismerjük, miből veszi észre a dolgozat beküldője, hogy hasonlót kapott hozzá valamelyik ismétlés eredményeképpen? Igazságérzetünk is tiltakozik. Ha egyáltalán volna valamiféle "hasonlóságbiztosító'' átöröklés, annak része lenne, hogy pl. a szögből ki lehessen fejezni , , , valamelyikét, majd a származékok valamelyik szögét, és kellő számú lépés után a szög valahol megismétlődnék. Két négyszög hasonlóságához azonban nem elegendő a szögek páronkénti megegyezése! (Hasonló-e két téglalap?) És ha a szög nagyságát történetesen mégis örökölné pl. az szög, mit szólna ehhez a szög, amely éppolyan szomszéd, mint az ? És hasonlóan és is egyformán fekszenek -hoz képest, mert idomunk csúcsainak, szögeinek a száma páros. Igazságos volna-e? Háromszög egy ilyenféle származékánál valóban lehetne valamiféle örököst kijelölni: a szemben fekvőt, ahogy pl. a szögnek a megfelelője a talpponti háromszögben , ill. (aszerint, hogy hegyes, ill. tompaszög). Még az is előfordulhat, hogy egy háromszög első vagy második, , -edik talpponti háromszöge hasonló az eredetihez. Vályi Gyula kolozsvári egyetemi tanár foglalkozott ezzel a problémával. De ehhez szükséges, hogy a háromszög mindegyik szöge racionális hányadrésze legyen a -nak (a szögösszegnek). Még ez a távoli hasonlat sem ad hát támasztékot az idézett kijelentéshez, sejtéshez. |
|