| Feladat: | F.2295 | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: nehéz |
| Megoldó(k): | Ákosfai Z. , Alberti G. , Balogh Anikó , Benke I. , Csillik Mária , Csörgő T. , Danyi P. , Dósa Gy. , Drávucz Katalin , Fodor Orsolya , Gönczöl Cs. , Halász P. , Havasi G. , Hetyei G. , Ittzés A. , Kapos L. , Kerényi I. , Király Z. , Kis Urbán K. , Kiss P. , Kurucz Gy. , Magyar Cs. , Megyesi G. , Méry Zs. , Mihálykó Cs. , Mohay T. , Nagy T. , Nagy Zs. , Németh Á. , Pardavi T. , Regős Enikő , Simek R. , Simonyi G. , Somogyi H. , Svidró Z. , Szabó E. , Szállási Z. , Száraz S. , Terenyi Z. , Tranta Beáta , Tukora I. , Varga A. , Zalai Gy. | ||
| Füzet: | 1981/október, 64 - 66. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Szabályos sokszög alapú gúlák, Térgeometriai számítások trigonometria nélkül, Feladat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1981/január: F.2295 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Gúlánknak lapja van, tehát az metsző sík mindegyik lapját metszi. A test konvex, ezért az metszet is konvex. Legyenek a metszet derékszögű csúcsai és , így oldala párhuzamos és egyenlő -vel, az ötszögről levágható az négyzet és marad a egyenlő oldalú háromszög. Eszerint az oldal felezőpontját -vel összekötő egyenes szimmetriatengelye a metszetnek (1. ábra).  1. ábra és párhuzamossága alapján párhuzamos azzal az egyenessel, amelyben a -t és -t tartalmazó lapok síkjai egymást metszik. Tisztázzuk -nek a gúlával való kapcsolatát! A gúla lapsíkja közül -féleképpen választható ki , a metszésvonal közül alapél, oldalél, végül a nem szomszédos oldallapsík közös egyenesei a gúla négyélű csúcsán átmenő, az alapsíkkal párhuzamos egyenesek (mert az oldallapsíkok egyenlő szöggel hajlanak az alapsíkhoz). A metszésvonal e három csoportjában az egyenesek ekvivalensek egymással a gúla szimmetriái alapján (2. ábra).  2. ábra Ellentmondásra vezet annak föltevése, hogy az utóbbi egyenes valamelyikével volna párhuzamos. Ugyanis ekkor és párhuzamosak volnának egy alapéllel; másrészt egyenlő hosszúak is, emiatt az egyenlő szárú háromszög alakú, egybevágó oldallapokban egyenlő távolságra volnának -től, tehát párhuzamos volna az alapsíkkal, holott ‐ mint láttuk ‐ azt is metszenie kell. Az is lehetetlen, hogy alapél legyen , mert akkor és közül az alaplapban fekvő egyenlő volna az alapéllel, az oldallapban fekvő pedig rövidebb volna annál. Ezek szerint az egyenes valamelyik oldalél, mondjuk (az alapnégyzet csúcsait , , , -rel jelölve; és , mindegyike háromszög alakú lapban van, amelyek egybevágók. Az előbbiekhez hasonló meggondolással és az éltől is egyenlő távolságra vannak, ezért , illetve . Ugyanis és csak az alapon lehetnek, hiszen az és oldallapok között az csúcsnál csak lap van, ahogy az és csúcsok közt a metszeten oldal, viszont -nél lap, ahogy és közt oldal. Ezek szerint merőleges az alapnégyzet átlójára és merőleges az átlós síkmetszetre, amely egyben szimmetriasíkja is a testnek. Továbbá , , rendre az , , oldaléllel való metszéspontja -nek (3. ábra).
Mivel merőleges -ra, azért párhuzamos -rel, és az , egyenesek is párhuzamosak -rel. Az szakasz benne van az átlós síkban, és felezőpontja rajta van a gúla magasságán, ahol az alaplap centruma. Az tetraédernek az és éleivel is párhuzamos , és alkalmas megválasztásával annyi tetszőleges gúlában elérhető, hogy négyzet legyen. Ha ugyanis és merőlegesek, és párhuzamos velük, akkor mindig téglalap, és ez akkor lesz négyzet, ha . Valóban, az lapon , a lapon , tehát |
