Feladat: F.2292 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Borsó Zs. ,  Böröczky K. ,  Csere K. ,  Czakó F. ,  Dani S. ,  Eckert P. ,  Fekete Zs. ,  Fonyó L. ,  Halász P. ,  Heckenast L. ,  Hegyesi Gy. ,  Kapos L. ,  Károlyi Gy. ,  Katona Gy. ,  Kerényi I. ,  Kiss E. ,  Madarász J. ,  Magyar Cs. ,  Megyesi G. ,  Mihálykó Cs. ,  Mohai T. ,  Musch Z. ,  Nagy R. ,  Nagy T. ,  Poór L. ,  Poppe A. ,  Pöltl J. T. ,  Radnóti L. ,  Somogyi H. ,  Szabó E. ,  Szalai J. ,  Szállási Z. ,  Tarcsay M. ,  Tranta Beáta ,  Törőcsik J. ,  Weisz F. 
Füzet: 1981/november, 121 - 122. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Irracionális számok és tulajdonságaik, Indirekt bizonyítási mód, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/január: F.2292

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A racionális számok tizedestört alakja szakaszos. Ezen azt kell érteni, hogy minden racionális számhoz található olyan k és p egész szám, hogy tizedestört alakjukban a tizedesvessző utáni k-adik jegytől kezdve a számjegyek p-esével ismétlődnek. Más szóval minden i≥0 egészre a k+i és k+i+p sorszámú helyeken egyező számjegyek állnak. A legkisebb ilyen p-t nevezzük a tizedestört periódusának. (Ha a tizedestört véges, akkor úgy gondoljuk, hogy a végén csupa 0 szerepel. Az ilyen tizedestörtek periódusa 1.)
Lássuk be először, hogy ez valóban így van! Gondoljuk csak el, hogyan állítjuk elő a 0<p1/q<1 racionális szám tizedestört alakját. A tizedesvessző utáni első jegy a 10p1:q osztás egész része, legyen a maradék p2. A második jegy a 10p2:q osztás egész része, a maradék p3 stb. Mivel a p2,p3... maradékok mind kisebbek q-nál, ezért valamelyik maradék előbb-utóbb másodszor is fellép, és innen kezdve a maradékok ‐ s ezért a tizedesjegyek is ‐ periodikusan ismétlődnek. Láthatjuk azt is, hogy a szakasz hossza, azaz a tizedestört periódusa, legfeljebb annyi, ahány különböző maradék az osztás során felléphet, vagyis legfeljebb q-1.
Mivel irracionális számot kell megadnunk, az előbbiek alapján elegendő egy nem szakaszos, a feltételeket kielégítő tizedestörtet készítenünk. Állítjuk, hogy az alábbi szám ilyen:

0,01m01m001m0101m001m...m001m01...01︸n  darab  01m001m01...01︸n+1  darab  01m001m...
Azt kell csak ellenőriznünk, hogy nem szakaszos, a többi feltétel nyilvánvalóan teljesül. Tegyük fel, hogy mégis szakaszos, vagyis a k-adik helytől kezdve az egymástól p távolságra levő jegyek megegyeznek. Legyen n nagyobb k-nál és p-nél is. Ekkor az n darab 01-ből álló 01...01 "blokkot'' megelőző 001 sorozat első és második 0 jegyétől p hellyel hátrább szintén 0 áll. Tehát n>p miatt a "blokkban'' két szomszédos 0 lenne, ami ellentmondás. A megadott tizedestört tehát irracionális számot definiál, s ezzel a feladatot megoldottuk.
 

Megjegyzések. 1. Azt igazoltuk, hogy a nem szakaszos tizedestörtek irracionális számot definiálnak. Nem bizonyítottuk, de igaz, hogy a szakaszos tizedestörtek viszont mindig racionális számok.
2. A vizsgált számokban minden 1-es után egy vagy két 0 következik. Ha a tizedes vessző előtt közvetlenül 1-es áll, akkor a szám tizedes vessző utáni része egyértelműen jellemezhető azzal, hogy sorban megmondjuk az 1-esek utáni 0-k számát. Így ismét végtelen sorozatot kapunk, amelynek két lehetséges eleme van: az egy és a kettő. Megfordítva, bárhogyan mond valaki egymás után végtelen sok szót, amelyek mindegyike vagy az "egy'' vagy a "kettő'', szövege alapján felírhatunk egy számot, amelyben a tizedes vessző előtt egyetlen 1-es áll, ezt követően a szöveg első szava által megadott számú 0, utána egy 1-es, majd sorra mindig annyi 0-t írunk, amennyit a szöveg következő szava jelent, és utánuk mindig egyetlen 1-est írunk. Azt is megtehetnénk persze, hogy amikor a szövegben "egy'' hangzik el, akkor egy darab 0-t írunk, és amikor "kettő'', akkor egy darab 1-est. Az így kapott számot tekinthetjük a kettes számrendszer számának: irracionális számoknak a kettes számrendszerbeli alakja sem periodikus. Így tehát tetszőleges irracionális szám kettes számrendszerbeli alakjából megfelelő példát konstruálhatunk. Azt kellene már csak belátni, hogy ha az ε1,ε2,... végtelen sorozat elemei egymástól függetlenül vagy 0-val vagy 1-gyel egyenlőek, és a sorozat nem periodikus, akkor rendre (εn+1) darab 0 után mindig egyetlen 1-est írva ugyancsak nem periodikus sorozatot kapunk.