Feladat: F.2288 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/május, 198 - 199. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai szerkesztések, Feladat, Négyszögek geometriája, Körök
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/december: F.2288

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szerkesztésünk a következő tételen és megfordításán alapul. Legyen a KLMN (konvex) trapézban MN||KL és MN≠KL, továbbá jelöljük a KM,LN átlók metszéspontját Q-val, a KN, LM szárak egyeneseinek metszéspontját R-rel ; ekkor a QR egyenes felezi a trapéz KL, MN alapjait. A tétel egyik megfordítása: Jelölje a KL szakasz felezőpontját F, a sík tetszőleges (de nem a KL egyenesen levő) pontját R, az FR egyenes, tetszőleges (de F és R-től különböző) pontját Q. Megrajzolva még az RK és QL, valamint a QK és RL egyeneseket, ezeknek N, ill. M metszéspontja egy, a KL-lel párhuzamos egyenest határoz meg.
Rekonstruálhatjuk azonban az ábrát a következőképpen is: legyen a sík tetszőleges pontja N, az NK egyenes N-től és K-tól különböző pontja R, az RF és NL egyenesek metszéspontja Q végül QK és RL metszéspontja M. (Itt megkülönböztetett szerepet adtunk a szimmetrikus K, L pontpár elemeinek, és azt értük el, hogy az NM párhuzamos egyenes nemcsak "valahol'' keletkezik, hanem átmegy az általunk megválasztott N ponton.)


Rátérve feladatunkra, a megfordított tétel kiindulását biztosítja az adott paralelogramma átlóinak megrajzolása, ezáltal hozzájutunk két különböző irányú felezett szakaszhoz. Szerkeszthetünk tehát a körhöz két különböző irányú párhuzamos szelőpárt, és így a kimetszett húrok végpontjai egy-egy szimmetrikus trapéz csúcsait jelölik ki. Végül az elsőnek kimondott tétel alapján megkaphatjuk mindegyik húrpár felezőpontjainak összekötő egyenesét, ezek az adott körnek is szimmetriatengelyei, átmérői, tehát metszéspontjuk a kör keresett középpontja.
Célszerűbb a megfordított tétel vonalainak sorrendjét a második megfogalmazás szerint választani, mert így N-t a kör pontjaként mi választhatjuk (egymás után 4-szer) és elérhetjük, hogy a húrok különböző hosszúak legyenek. Így pedig az utolsó lépésben az R pont (a szárak metszéspontja) nem túl messze jön létre.
 

Megjegyzések. 1. A leírt szerkesztés a paralelogramma és a kör minden lehetséges helyzetében elvégezhető, ha ‐ mint szokás ‐ vonalzónkat tetszőleges hosszúnak képzeljük, illetve az egyeneseket meghosszabbíthatjuk. Elvileg egész más kérdés volna ‐ csak megpendítjük ‐, ha véges hosszú vonalzóval a hosszánál távolabb fekvő pontok összekötő egyenesét kívánnánk megszerkeszteni.
2. A kör középpontját ismerve, tetszőleges, rajta átmenő egyenesen kapunk felezett szakaszt ‐ esetleges további célokra.
3. Már a paralelogramma C középpontjának meghatározása után is kaphatunk tetszőleges irányú felezett szakaszokat (általában kettőt is): a C-n átmenő egyenes a két oldalegyenespárt szimmetrikus pontokban metszi.
4. A paralelogramma és a kör kölcsönös helyzete szerint esetenként ügyeskedhetünk: csökkenthetjük a szerkesztési lépések számát, alkalmasan választva a pontokat. Megemlítjük csupán, hogy ha a paralelogramma mindegyik oldalegyenese szelője a körnek, akkor nincs is szükség a paralelogramma középpontjára. Néhány versenyző csak ilyen helyzetre tudta elvégezni a szerkesztést.