Kezdőlap


Feladat:	F.2286	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/november, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/december: F.2286

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tekintsük a megadott számok közül a legkisebb abszolút értékűt (ha több ilyen volna, akkor ezek egyikét). A többi szám közül az ennél nagyobbakat csökkentsük, a nála kisebbeket pedig növeljük, mindaddig, míg a szomszédos számok távolsága $1$ -re nem csökken. A feladat feltételei alapján ezt meg szabad tenni, s ezzel a számok abszolút értékét is ‐ egy kivételével ‐ csökkentettük. Mivel kisebb abszolút értékű szám négyzete kisebb, a kapott számok négyzetösszege legföljebb annyi, mint az eredeti számok négyzetösszege. Jelöljük az új számaink közül a középsőt $x$ -szel, a többiek értéke ekkor $x - 2$ , $x - 1$ , illetve $x + 1$ és $x + 2$ , négyzetösszegük pedig $5 x^{2} + 10 \geq 10$ . Így az eredeti négyzetösszeg nagyobb volt $10$ -nél, és ezt kellett bizonyítanunk.

R. Zs.

II. megoldás. Rendezzük nagyság szerint növekvően a számokat, és jelöljük a

k

-adikat

x_{k}

-val, az öt szám számtani közepét

\bar{x}

-sal. Először belátjuk, hogy

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{m} {(x_{k} - \bar{x})}^{2} = \sum_{k - 1}^{m} x_{k}^{2} - m {\bar{x}}^{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

m = 5

. Ha ugyanis

(1)

bal oldalán elvégezzük a négyzetre emelést, első tagként a jobb oldal első tagját kapjuk. A négyzetek második tagja

\begin{matrix} - 2 \bar{x} \sum_{k = 1}^{m} x_{k} = - 2 m {\bar{x}}^{2} \end{matrix}

miatt egyenlő a harmadik tag

2

-szeresével, és a négyzetek harmadik tagjaival együtt éppen

(1)

jobb oldalán a második tagot adják.
A következő lépésünk a

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{m} {(x_{k} - x_{j})}^{2} = 2 m \sum_{k = 1}^{m} {(x_{k} - \bar{x})}^{2} \end{matrix}

összefüggés igazolása. Most feltehetjük, hogy

\bar{x} = 0

, mert különben az

x_{k} = \bar{x}

különbségeket írhatjuk az

x_{k}

számok helyére. Ismét elvégezve a négyzetre emelést a bal oldalon, a négyzetes tagokból azt kapjuk, ami a jobb oldalon áll, a vegyes tagok összege pedig

\bar{x} = 0

miatt nulla.
Mivel

x_{k + 1} > x_{k} + 1

, általában

k \neq j

esetén

| x_{k} - x_{j} | > k - j

, tehát

m = 5

mellett

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{m} {(x_{k} - x_{j})}^{2} > 4^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 2^{2} + 4 \cdot 1^{2} = 50. \end{matrix}

Emiatt

(1)

és

(2)

alapján

\begin{matrix} \sum_{k = 1}^{m} x_{k}^{2} \geq \sum_{k = 1}^{m} {(x_{k} - \bar{x})}^{2} = \frac{1}{2 m} \sum_{k = 1}^{m} \sum_{j = 1}^{m} {(x_{k} - x_{j})}^{2} > 10, \end{matrix}

amint azt igazolnunk kellett.

Megjegyzés. A kitűzés szövegében a számok különbségét ‐ a közhasználatot követve ‐ természetesen abszolút értékben értettük. Ez nem is okozott zavart a megoldóknak.